Prosta $k$. Proste oznaczamy literkami $k, l, m, n...$
Odcinek wyznaczony przez punkty $A$ i $B$. Długość odcinka $AB$ oznaczamy $|AB|$. Zapiszemy $|AB|=20$.
Półprosta o początku w punkcie $C$.
Odp. C.
Punkt i odcinek są ograniczone. Półprosta jest nieograniczona.
Miarę kąta mierzymy w stopniach.
Kąt ostry
ma miarę $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ .
Kąt prosty ma miarę $90^\circ$ .
Kąt rozwarty ma miarę $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ .
Kąt półpełny
ma miarę $180^\circ$ .
Kąt pełny ma miarę $360^\circ$ .
Kąt zerowy ma miarę $0^\circ$ .
Kąt wypukły ma miarę $0^\circ < \alpha \le 180^\circ$ .
Kąty wypukłe to kąty ostre, kąt prosty, kąty rozwarte i kąt półpełny.
Kąt wklęsły ma miarę $180^\circ < \alpha < 360^\circ$ .
Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołki tego kąta i dzieląca go na dwa przystające kąty.
Odp. B.
Kąt wypukły ma miarę $0^\circ < \alpha \le 180^\circ$ .
Kąt rozwarty ma miarę wiekszą niż 90 stopni i mniejszą niż 180 stopni, więc każdy kąt rozwarty jest też wypukły.
Kąty wierzchołkowe - gdy przecinamy dwie proste, tworzymy kąty wierzchołkowe o równej mierze i wspólnym wierzchołku.
Kąty przyległe - mają jedno wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą.
$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
Kąty odpowiadające - gdy dwie proste równoległe przecinamy trzecią prostą, tworzymy kąty odpowiadające równej miary.
Kąty naprzemianległe - gdy dwie proste równoległe przecinamy trzecią prostą, tworzymy kąty naprzemianległe równej miary.
$$\textcolor{0D4248}{P = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma}$$ gdzie $\textcolor{0D4248}{a, b}$ - długosci boków trójkąta, $\textcolor{0D4248}{\alpha}$ - kąt wyzn. przez boki $\textcolor{0D4248}{a}$ i $\textcolor{0D4248}{b}$
Obwód trójkąta: $$\textcolor{0D4248}{Ob = a+b+c}$$ gdzie $\textcolor{0D4248}{a,b,c}$ - długości boków trójkąta
Trójkąt równoramienny ma dwa boki równej długości - ramiona trójkąta, i dwa kąty równej miary - te przy podstawie.
Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne miary $60^\circ$.
Obwód: $\quad \textcolor{0D4248}{Ob = 3a}$.
Trójkąt prostokątny ma jeden kąt wewnętrzny jest prosty.
Pole trójkąta prostokątnego: $\quad \textcolor{0D4248}{P = \dfrac{ab}{2}}$
Dla trójkąta prostokątnego prawdziwe jest twierdzenie Pitagorasa: $$\textcolor{36195b}{a}^2+\textcolor{854546}{b}^2=\textcolor{647c58}{c}^2$$ gdzie $\textcolor{36195b}{a},\textcolor{854546}{b}$ - długości przyprostokątnych, $\textcolor{647c58}{c}$ - długość przeciwprostokątnej
Środkowa trójkąta jest odcinkiem łączącym wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Środkowe przecinają się w stosunku $2:1$ patrząc od wierzchołka.
Odp. C.
Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a > 0$ wyraża się wzorem:
$$P = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$$
$$a^2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$$
$$a^2 = 8$$
$$a = 2\sqrt{2}$$
W trójkącie prostokątnym spełnione jest: $$\textcolor{36195b}{a}^2+\textcolor{854546}{b}^2=\textcolor{647c58}{c}^2$$ gdzie $\textcolor{36195b}{a},\textcolor{854546}{b}$ - długości przyprostokątnych, $\textcolor{647c58}{c}$ - długość przeciwprostokątnej
Odp. A.
Niech $c > 0$ oznacza długość przeciwprostokątnej.
Z twierdzenia Pitagorasa:
$$\hspace{0.8cm} c^2 = 5^2+12^2$$
$$\hspace{0.8cm} c^2 = 25+144$$
$$c^2 = 169$$
$$c = 13$$
Kwadrat ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne proste.
Pole kwadratu o boku długości $a$ wyraża się wzorem: $$\textcolor{4E0B4E}{P = \textcolor{4E0B4E}{a}^2}$$ Obwód kwadratu: $$\textcolor{4E0B4E}{Ob = 4\textcolor{4E0B4E}{a}}$$ Prostokąt ma dwie pary boków równoległych i wszystkie kąty wewnętrzne proste.
Obwód prostokąta: $$\textcolor{4E0B4E}{Ob = 2(\textcolor{4E0B4E}{a}+\textcolor{4E0B4E}{b})}$$ Romb ma wszystkie boki równej długości.
$$\textcolor{4E0B4E}{P = \textcolor{4E0B4E}{a}^2\sin\alpha}$$ gdzie $\textcolor{4E0B4E}{a}$ - długość boku rombu, $\textcolor{4E0B4E}{\alpha}$ - dowolny kąt wewnętrzny rombu
Obwód rombu: $$\textcolor{4E0B4E}{P = 4\textcolor{4E0B4E}{a}}$$ Równoległobok ma dwie pary boków równoległych.
$$\textcolor{4E0B4E}{P = \textcolor{4E0B4E}{ab}\sin\alpha}$$ gdzie $\textcolor{4E0B4E}{a}, \textcolor{4E0B4E}{b}$ - długości boków równoległoboku, $\textcolor{4E0B4E}{\alpha}$ - dowolny kąt wewnętrzny równoległoboku
Obwód równoległoboku: $$\textcolor{4E0B4E}{P = 2(\textcolor{4E0B4E}{a}+\textcolor{4E0B4E}{b})}$$ gdzie $\textcolor{4E0B4E}{a}, \textcolor{4E0B4E}{b}$ - długości boków równoległoboku
Trapez ma jedną parę boków równoległych.
Obwód trapezu: $$\textcolor{4E0B4E}{P = \textcolor{4E0B4E}{a}+\textcolor{4E0B4E}{b}+\textcolor{4E0B4E}{c}+\textcolor{4E0B4E}{d}}$$ gdzie $\textcolor{4E0B4E}{a}, \textcolor{4E0B4E}{b}$ - długości podstaw trapezu, $\textcolor{4E0B4E}{c}, \textcolor{4E0B4E}{d}$ - długości boków trapezu
Odp. C.
Romb jest równoległobokiem o wszystkich bokach równej długości $a$. Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku:
$$\textcolor{4E0B4E}{P = \textcolor{4E0B4E}{ab}\sin\alpha = a^2\sin\alpha}$$
Wyliczamy długość boku $a$ z obwodu rombu:
$$4a=40$$
$$a=10$$
Skoro kąt między jedną parą boków rombu ma miarę $120^\circ$, to kąt między nastepną parą boków ma miarę $ 180^\circ \text{-} 120^\circ \text{=} 60^\circ$.
$$P = 10^2\sin60^\circ = 100 \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}$$
Wielokąt foremny ma wszystkie kąty równe i wszystkie boki takiej samej długości.
Wielokąt o $\textcolor{0c4b3f}{n>3}$ bokach ma $\textcolor{0c4b3f}{n(n-3)}$ przekątnych.
Odp. A.
Ilość przekątnych wielokąta wyraża się wzorem:
$$n(n-3)$$
Sześciokąt foremny ma sześć boków, czyli $n=6$.
Ilość jego przekątnych jest równa:
$$6(6-3)=18$$
Koło to okrąg i wszystko co w jego wnętrzu.
Patrząc inaczej, okrąg to sam brzeg koła.
Średnica to odcinek łączący dowolne dwa punkt na okręgu i przechodzący przez środek okręgu.
Promień to odcinek łączący dowolny punkt na okręgu ze środkiem okręgu.
Cięciwa to odcinek łączący dowolne dwa punkty na okręgu.
Pole koła: $$\textcolor{4E0B4E}{P = \pi r^2}$$ gdzie $r$ - długość promienia okręgu
Obwód koła: $$\textcolor{4E0B4E}{Ob = 2\pi r}$$ gdzie $r$ - długość promienia okręgu
Odp. A.
Pole koła o promieniu długości $r$ wyraża się wzorem:
$$\textcolor{4E0B4E}{P = \pi r^2}$$
Dla $r=4$, pole koła jest równe:
$$P = \pi 4^2=16\pi$$
Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
Łuk okręgu to część okręgu wyznaczona przez ramiona kąta środkowego.
To figury, które mają taki sam kształt, choć mogą różnić się rozmiarem.
Figury podobne, które mają taki sam rozmiar, nazywamy przystającymi.
Trójkąty podobne mają taki sam kształt, choć mogą różnić się rozmiarem.
Cechy podobieństwa trójkątów:
$\textcolor{4E0B4E}{kkk}$ - kąt-kąt-kąt
Miary odpowiednich kątów trójkątów są równe.
$\textcolor{4E0B4E}{bbb}$ - bok-bok-bok
Stosunki długości boków w trójkatach są równe.
$$\dfrac{|AB|}{|DE|}=\dfrac{|BC|}{|EF|}=\dfrac{|AC|}{|DF|}$$
Ponadto, każdy z tych ułamków jest równy skali podobieństwa $k$.
$\textcolor{4E0B4E}{bkb}$ - bok-kąt-bok
Stosunki dwóch par boków są równe i miary kątów między parą boków w obu trójkątach są równe.
$$\dfrac{|AB|}{|DE|}=\dfrac{|BC|}{|EF|}$$
Jeśli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to zachodzą następujące stosunki długości odcinków: $$\textcolor{3F0D48}{\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}}$$ $$\textcolor{3F0D48}{\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}}$$
Jeśli kąt wewnętrzny trójkąta przedzielimy dwusieczną, to zachodzą następujące stosunki odcinków: $$\textcolor{0A484F}{\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}}$$ $$\textcolor{0A484F}{\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}}$$
$$\textcolor{07533a}{c}^2 = \textcolor{40710c}{a}^2 + \textcolor{250753}{b}^2 - 2\textcolor{40710c}{a}\textcolor{250753}{b}\cos\alpha$$
gdzie $\textcolor{40710c}{a},\textcolor{250753}{b},\textcolor{07533a}{c}$ - długości boków trójkąta, $\alpha$ - kąt między bokami $\textcolor{40710c}{a}$ i $\textcolor{250753}{b}$
Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa.
Kąty
Kąty wierzchołkowe, przyległe,
odpowiadające i naprzemianległe
Trójkąty
Twierdzenie Pitagorasa
Czworokąty
Wielokąty
Koło i okrąg
Kąt wpisany i środkowy
Figury podobne
Trójkąty podobne
Twierdzenie Talesa
Twierdzenie o dwusiecznej
Twierdzenie cosinusów
Zadania z geometrii płaskiej
