Nierówności
Równania kwadratowe
Nierówności kwadratowe
Układy równań liniowych
Zadania z równań i nierówności
Zmienne są jak pudełka, do których możemy wkładać różne rzeczy. Na przykład do pudełka $\textcolor{20096B}{x}$ wkładam liczbę $\textcolor{20096B}{2}$.
Zapiszę to jako: $$\textcolor{20096B}{x}=\textcolor{20096B}{2}$$
Oto przykładowe równania: $$\textcolor{20096B}{x-2=5} \hspace{2cm} \textcolor{20096B}{2x + 18 = 8}$$
Odp. A. $$x+2=6 \hspace{1.1cm}$$ Odejmujemy obustronnie liczbę $2$. $$x+2=6 \quad /-2$$ $$x+2-2=6-2 \hspace{1.2cm}$$ $$x=4 \hspace{0.6cm}$$
Przykład
Rozwiąż nierówność $x-2>5$ .
Rozwiązanie
$$\hspace{0.5cm} x-2>5 \quad /+2$$
$$x>7$$
$$x \in (7, +\infty)$$
Odp. B.
$$\hspace{0.2cm} x+4>3 \quad /-4$$
$$x>-1$$
$$x \in (-1, +\infty)$$
$$\textcolor{0E514E}{1. \Delta > 0}$$ Dwa różne rozwiązania równania: $$x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ $$x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$\textcolor{0E514E}{2. \Delta = 0}$$ Jedno rozwiązanie: $$x = -\dfrac{b}{2a}$$
$$\textcolor{0E514E}{3. \Delta < 0}$$ $$\text{\small{Brak rozwiązań, czyli }} x \in \varnothing$$
Rozwiąż równanie $x^2-3x+2=0$.
Rozwiązanie
$$\Delta = (-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 2 = 9-8=1$$ $$\Delta = 1 > 0$$ Równanie ma dwa różne rozwiązania: $$x_1 = \dfrac{3-\sqrt{1}}{2} = 1$$ $$x_2 = \dfrac{3+\sqrt{1}}{2} = 2$$ $$ x \in \{1,2\}$$
Odp. B.
$$x^2+x-2 = 0$$
Wyliczamy deltę:
$$\Delta = 1^2-4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1+8 = 9$$
$$\Delta = 9 > 0$$
$$\sqrt{\Delta} = 3$$
Równanie ma dwa różne rozwiązania:
$$x_1 = \dfrac{-1-3}{2} = -2$$
$$x_2 = \dfrac{-1+3}{2} = 1$$
$$ x \in \{-2,1\}$$
Rozwiązania nierówności kwadratowych odczytujemy z wykresu.
Rozwiąż nierówność $x^2-3x+2>0$.
Rozwiązanie
Rozwiązania nierówności odczytamy z wykresu (parabola). Najpierw szukamy miejsc przecięcia paraboli $y=x^2-3x+2$ z osią $Ox$ (jeśli są). Wyliczamy deltę:
$$\Delta = (-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 2 = 9-8=1$$
$$\Delta = 1 > 0$$
$$\sqrt{\Delta} = 1$$
Parabola przecina oś $Ox$ w:
$$x_1 = \dfrac{3-\sqrt{1}}{2} = 1$$
$$x_2 = \dfrac{3+\sqrt{1}}{2} = 2$$
Rysujemy parabolę.
Odp. A.
Rozwiązania nierówności odczytamy z wykresu (parabola). Najpierw szukamy miejsc przecięcia paraboli $y=x^2+4x+3$
z osią $Ox$ (jeśli są).
Wyliczamy deltę:
$$\Delta = 4^2-4 \cdot 1 \cdot 3 = 16-12=4$$
$$\Delta = 4 > 0$$
$$\sqrt{\Delta} = 2$$
Parabola przecina oś $Ox$ w:
$$x_1 = \dfrac{-4-\sqrt{2}}{2} = -3$$
$$x_2 = \dfrac{-4+\sqrt{2}}{2} = -1$$
Rysujemy parabolę.
Układy równań liniowych dzielimy na:
- oznaczone: mają jedno rozwiązanie
- nieoznaczone: mają nieskończenie wiele rozwiązań
- sprzeczne: nie mają rozwiązań
Odp. C.
Dla $a=2$ drugie równanie przyjmuje postać:
$$-2x+2y=-6 \hspace{0.3cm}$$
Dzielimy to równanie obustronnie przez $-2$ :
$$\hspace{1.2cm} -2x+2y=-6 \quad /:(-2)$$
$$x-y=3$$
Drugie i pierwsze równanie układu równań są tożsame, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony).
