Do jakiej potęgi podnieść $2$, by dostać $16$ ?, czyli $log_2 16$
$$log_2 16 = \textcolor{157A71}{4}$$
Do jakiej potęgi podnieść $3$, by dostać $9$ ?, czyli $log_3 9$
$$log_3 9 = \textcolor{F4A460}{2}$$
Do jakiej potęgi podnieść $\dfrac{1}{2}$, by dostać $\dfrac{1}{8}$ ?, czyli $log_\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{8}$
$$log_\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{8} = \textcolor{64112F}{3}$$
Odp. B.
Do jakiej potęgi podnieść $2$, by otrzymać $4$ ?
Do potęgi drugiej, bo $2^2 = 4$ .
$$\textcolor{64112F}{n} \cdot \log_a b = \log_a b^{\textcolor{64112F}{n}}$$ $$\log_a \textcolor{64112F}{b} + \log_a \textcolor{64112F}{c} = \log_a {\textcolor{64112F}{b \cdot c}}$$ $$\log_a \textcolor{64112F}{b} - \log_a \textcolor{64112F}{c} = \log_a {\textcolor{64112F}{\dfrac{b}{c}}}$$
Przykład
Oblicz $\log_2 \dfrac{1}{8}$.
Rozwiązanie
Zapiszemy $\dfrac{1}{8}$ jako potęgę liczby $2$.
$$\dfrac{1}{8}=8^{\text{-}1}=(2^3)^{\text{-}1}=2^{\text{-}3}$$
Zatem
$$\log_2 \dfrac{1}{8} = \log_2 2^{\text{-}3}$$
Skorzystamy z
$$\textcolor{207A81}{n} \cdot \log_a b = \log_a b^{\textcolor{207A81}{n}}$$
$$\log_2 2^{\textcolor{207A81}{\text{-}3}} = \textcolor{207A81}{-3} \cdot log_2 2 = \textcolor{207A81}{-3} \cdot 1 = \textcolor{207A81}{-3}$$
Odp. C.
Oba logarytmy mają w podstawie liczbę $10$, więc możemy skorzystać ze wzoru na sumę logarytmów o takiej samej podstawie, czyli
$$\log_a \textcolor{64112F}{b} + \log_a \textcolor{64112F}{c} = \log_a {\textcolor{64112F}{b \cdot c}}$$
Mamy więc, że
$$\log4 + \log25 = \log4\cdot25=\log100=2$$
$$\textcolor{5A166B}{\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}}$$ gdzie $\textcolor{5A166B}{c}$ może być dowolną liczbą spełniającą: $\textcolor{5A166B}{c}>0$ oraz $\textcolor{5A166B}{c} \ne 1$, czyli warunki na podstawę logarytmu.
Najczęściej $\textcolor{5A166B}{c}$ dobieramy tak, by wygodnie było nam obliczyć logarytm.
Przykład
Oblicz $\log_8 16$ .
Rozwiązanie
$$\log_8 16=\dfrac{\log_{\textcolor{5A166B}{2}} 16}{\log_{\textcolor{5A166B}{2}} 8} = \dfrac{4}{3}$$
Odp. A.
Skorzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu, czyli
$$\textcolor{5A166B}{\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}}$$
Pomysł jest taki: podstawić za $c$ liczbę $3$.
Mamy więc, że
$$\log_9 27=\dfrac{\log_3 27}{\log_3 9}=\dfrac{3}{2}$$
