Trójkąty
Χαίρετε! Witajcie! Dzisiaj zajmiemy się trójkątami.
Czy wiecie, że są kluczowe w wielu konstrukcjach? Nawet starożytnych.
Trójkątne elementy ciężko odkształcić.
Magia trójkątów tkwi w ich niezwykłej sile i wytrzymałości!
Trójkąt ma trzy boki i trzy kąty
Pole trójkąta wyraża się zaklęciem
$$\textcolor{ffffe6}{P = \dfrac{a \cdot h}{2}}$$
gdzie $\textcolor{ffffe6}{a}$ - długość podstawy trójkąta, $\textcolor{ffffe6}{h}$ - wysokość trójkąta opuszczona na podstawę
Pole trójkąta to również
$$\textcolor{ffffe6}{P = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma}$$
gdzie $\textcolor{ffffe6}{a, b}$ - długosci boków trójkąta, $\textcolor{ffffe6}{\alpha}$ - kąt wyznaczony przez boki $\textcolor{ffffe6}{a}$ i $\textcolor{ffffe6}{b}$
Obwód trójkąta wyraża się zaklęciem $$\textcolor{ffffe6}{Ob = a+b+c}$$ gdzie $\textcolor{ffffe6}{a,b,c}$ - długości boków trójkąta
Trójkąt równoramienny
Ma dwa boki równej długości - ramiona trójkąta.
Ponadto, ma dwa kąty równej miary - te przy podstawie.
Trójkąt ostrokątny
Wszystkie kąty wewnętrzne są ostre.
Tu warto powiedzieć o ważnej własności trójkątów
(wszystkich, nie tylko ostrokątnych):
Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta równa jest $180^\circ$.
Trójkąt równoboczny
Ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne miary $60^\circ$.
Pole trójkąta równobocznego: $\quad \textcolor{ffffe6}{P = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}}$
Obwód: $\quad \textcolor{ffffe6}{Ob = 3a}$.
Trójkąt prostokątny
Jeden kąt wewnętrzny jest prosty.
Dla trójkąta prostokątnego prawdziwe jest Twierdzenie Pitagorasa😎:
$$\textcolor{c6da94}{a}^2+\textcolor{87bfc2}{b}^2=\textcolor{cabdd2}{c}^2$$
gdzie $\textcolor{c6da94}{a},\textcolor{87bfc2}{b}$ - długości przyprostokątnych,
$\textcolor{cabdd2}{c}$ - długość przeciwprostokątnej
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $26$ cm, a jedna z przyprostokątnych jest o $14$ cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
Przyprostokątne mają długości $a$, $a+14$ dla pewnego $a>0$.
Szukane: $Ob$ - obwód trójkąta
$Ob = a + a + 14 + 26 = 2a + 40$
Z twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2 + (a+14)^2 = 26^2$$
$$a^2 + a^2 +28a + 196 = 676$$
$$2a^2 + 28a - 480 = 0$$
$$a^2 + 14a - 240 = 0$$
Rozwiążemy równanie kwadratowe.
$$\Delta = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156$$
$$\sqrt{\Delta} = 34$$
$$a_1 = \dfrac{-14 - 34}{2} = -24 < 0$$
$$a_2 = \dfrac{-14 + 34}{2} = 10 > 0$$
Zatem $a=10$.
Obwód jest równy
$$Ob = 2 \cdot 10 + 40 = 60\text{\small{ cm}}$$
Trójkąt rozwartokątny
Jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.
Środkowa trójkąta
To odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe i przecinają się one w stosunkach $2:1$.
