Zadania z geometrii płaskiej
📃 - zadanie z matury podstawowej
Zadanie 5. 📃
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa $6$. Oblicz obwód tego trapezu.
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa $6$. Oblicz obwód tego trapezu.
Rozwiązanie
Szukane: $Ob$ - obwód trapezu
$Ob = a + b + 12$
Trójkąt $ACD$ ma miary kątów $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. Zatem stosunki długości jego boków to $$a:b:6=1:\sqrt{3}:2$$ Stąd $$a = 3$$ $$b=3\sqrt{3}$$ $$Ob = 3 + 3\sqrt{3} = 12 = 15 + 3\sqrt{3}$$
Zadanie 7. 📃
Okręgi o środkach odpowiedno $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku $A$ jest równy $2$.
Uzasadnij, że promień okręgu o środku $B$ jest mniejszy od $\sqrt{2}-1$ .
Okręgi o środkach odpowiedno $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku $A$ jest równy $2$.
Rozwiązanie
Długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego i punkt $A$ możemy wyrazić jako
$$\sqrt{2}r + r + 2$$
gdzie $r$ - promień małego okręgu.
Wiemy ponadto, że odcinek ten jest przekątną kwadratu o boku długości $2$, więc ma długość $2\sqrt{2}$ .
Zatem
$$\sqrt{2}r + r + 2 = 2\sqrt{2}$$
$$(\sqrt{2}+1)r = 2\sqrt{2} - 2$$
Ponieważ $2r < (\sqrt{2}+1)r$, więc
$$2r < 2\sqrt{2} - 2$$
$$r < \sqrt{2} - 1$$
co należało wykazać.
