Najpierw o jednomianach.
Jednomian to wyrażenie algebraiczne składające się z liczby pomnożonej przez literkę, która może być w różnej potędze, a w dodatku literek może być więcej.
Przykłady jednomianów: $$\textcolor{09525A}{8x} \\ \textcolor{096B56}{3x^2} \hspace{3.5cm} \textcolor{088D41}{-7x^5} \\ \textcolor{180D85}{-\dfrac{2}{3}} $$
Wykładnik w potędze $x$ to stopień jednomianu.
$\textcolor{09525A}{8x}$ jest stopnia $\textcolor{09525A}{1.}$, bo $\textcolor{#09525A}{8x=8x^1}$
$\textcolor{096B56}{3x^2}$ jest stopnia $\textcolor{096B56}{2.}$
$\textcolor{088D41}{-7x^5}$ jest stopnia $\textcolor{088D41}{5.}$
$\textcolor{180D85}{-\dfrac{2}{3}}$ jest stopnia $\textcolor{180D85}{0.}$, bo $\textcolor{180D85}{-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3}x^0}$.
Dwumian to suma dwóch jednomianów, na przykład:
$$\textcolor{180D85}{3x^2 + 8x} \hspace{1.5cm} \textcolor{088D41}{-7x^5 -\dfrac{2}{3}}$$
Trójmian to suma trzech jednomianów, na przykład:
$$\textcolor{180D85}{3x^2 + 8x + 1} \hspace{1.5cm} \textcolor{088D41}{-7x^5 +10x^3 -\dfrac{2}{3}}$$
Wielomian to suma pewnej skończonej ilości jednomianów, na przykład:
$$\textcolor{180D85}{x^2 + 1} \hspace{1.5cm} \textcolor{088D41}{4x^4 + 5x^3 + x^2 -\dfrac{1}{2}}$$
Uwaga: Jednomian też jest wielomianem.
Odp. C.
Zmienna $x$ w jednomianie $4x^2$ jest w drugiej potędze, więc jednomian ten jest stopnia drugiego.
Rozkład wielomianu polega na wyrażeniu wielomianu w postaci iloczynu wielomianów niższych stopni. Nie zawsze da się to zrobić.
Tu wielomian $\textcolor{09525A}{x^2+2x+1}$ stopnia $\textcolor{09525A}{2.}$ zapisaliśmy w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia $\textcolor{093D5A}{1.}$
$$\textcolor{09525A}{x^2+2x+1=} \textcolor{091B5A}{(x+1) \cdot (x+1)}$$
Rozłożyliśmy wielomian.
Inny przykład rozkładu wielomianu:
$$\textcolor{09515A}{(x-2)(x^2-3x+1)=}$$
$$\textcolor{09515A}{=(x-2)(x-2)(x-1)=(x-2)^2(x-1)}$$
Odp. B.
Ponieważ $1-\sqrt{2}$ jest liczbą ujemną, więc
$$|1-\sqrt{2}| = -(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$$
W równaniach wielomianowych, tak jak w innych rodzajach równań, trzeba znaleźć wartość zmiennej $x$.
Przykłady równań wielomianowych:
$$\textcolor{180D85}{x^3-2=7}$$
$$\textcolor{09515A}{2x^3-4x^2+6x-12=0}$$
$$\textcolor{09525A}{(x+1)(x-4)^2=0}$$
Przykład
Rozwiąż równanie $x^3+3x^2-4x-12=0$.
Rozwiązanie
Doprowadzimy wielomian z lewej strony równania do postaci iloczynowej metodą grupowania:
$$x(x^2-4)+3(x^2-4)=0$$
$$(x^2-4)(x+3)=0$$
$$(x-2)(x+2)(x+3)=0$$
$$x=2 \quad \vee \quad x=-2 \quad \vee \quad x=-3$$
Odp. B.
$$(x-1)(x+2)^2=0$$
$$x-1 = 0 \quad \vee \quad (x+2)^2=0$$
$$x = 1 \quad \vee \quad x = -2$$
