Pokażemy na przykładzie:
Chcemy stworzyć nowe eliksiry. Każdy składa się z jednego składnika magicznego i jednej runy magicznej.
Mamy do dyspozycji $\textcolor{390834}{3}$ różne rodzaje składników magicznych: bezoar, kryształ wulkaniczny, harpie pióro oraz $\textcolor{0A5858}{\textcolor{0A5858}{4}}$ różne rodzaje run magicznych.
Krok $1$: Wybieramy jeden ze składników magicznych. To możemy zrobić na $\textcolor{390834}{3}$ różne sposoby, czyli wybrać bezoar, kryształ wulkaniczny lub harpie pióro.
Krok $2$: Następnie wybieramy jedną z run magicznych. Tutaj mamy $\textcolor{0A5858}{4}$ różne opcje.
Krok $3$: Używamy reguły mnożenia: Mnożymy te liczby, by obliczyć ilość możliwych eliksirów:
$\textcolor{390834}{3}$ (sposoby na wybór składnika magicznego) x $\textcolor{0A5858}{4}$ (sposoby na wybór runy magicznej) = $12$
Odp. C.
Korzystamy z reguły mnożenia: Ilość możliwych zestawów składających się z jednego kapelusza i jednej różdżki jest równa
$$7 \cdot 3 = 21$$
Ponadto zakładamy, że $\textcolor{0C4D30}{0!=1}$.
$$0! = 1 \hspace{0.7cm} 1! = 1 \hspace{0.7cm} 2! = 2 \hspace{0.7cm} 3! = 6 \hspace{0.7cm} 4! = 24 \hspace{0.7cm} 5! = 120$$
Odp. A.
$$\dfrac{6!}{4!}=\dfrac{6\cdot5\cdot\cancel{4!}}{\cancel{4!}}=6\cdot5=30$$
Istnieje $\textcolor{127150}{n!}$ permutacji zbioru $\textcolor{127150}{n}$-elementowego. Mówiąc inaczej:
$\textcolor{127150}{n}$ różnych liczb, rzeczy czy osób możemy ustawić na $\textcolor{127150}{n!}$ różnych sposobów.
Przykład:
$\textcolor{521ab3}{4}$ różne księgi ustawimy na $\textcolor{521ab3}{4!}$ różnych sposobów, czyli na
$$\textcolor{521ab3}{4!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24}$$
różnych sposobów.
Gdyby ksiąg było $\textcolor{521ab3}{6}$, to ustawilibyśmy je na $\textcolor{521ab3}{6!}$ różnych sposobów, czyli na
$$\textcolor{521ab3}{6!=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720}$$
różnych sposobów.
Odp. C.
Ilość tych ustawień to ilość 5-elementowych permutacji. Wzór na ilość $\textcolor{127150}{n}$-elementowych permutacji to $\textcolor{127150}{n!}$, czyli ilość ustawień $5$ książek na półce jest równa $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ .
Ilość $\textcolor{077851}{k}$-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru liczności $\textcolor{1b0575}{n}$ wyraża się wzorem: $$\dfrac{\textcolor{1b0575}{n}!}{\textcolor{077851}{(\textcolor{1b0575}{n}-\textcolor{077851}{k})}!}$$
Przykład:
Ile różnych $\textcolor{07533a}{3}$-elementowych ciągów amuletów spośród $\textcolor{07533a}{5}$ możesz stworzyć?
Odpowiedź:
$$\textcolor{07533a}{\dfrac{5!}{3!} = \dfrac{5\cdot4\cdot\cancel{3!}}{\cancel{3!}}=5 \cdot 4 \cdot 3 = 60}$$
Odp. C.
Korzystamy ze wzoru na wariację bez powtórzeń:
$$\textcolor{07533a}{\dfrac{n!}{(n-k)!}}$$
Możliwych ustawień 3 książek spośród 7 jest
$$\dfrac{7!}{(7-3)!}=\dfrac{7!}{4!}=\dfrac{7\cdot6\cdot5\cdot\cancel{4!}}{\cancel{4!}}=7\cdot6\cdot5=210$$
Ilość $\textcolor{077851}{k}$-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru liczności $\textcolor{1b0575}{n}$ wyraża się wzorem: $$\textcolor{1b0575}{n}^{\textcolor{077851}{k}}$$
Przykład:
Ile jest różnych czterocyfrowych kodów PIN?
Odpowiedź:
$$\textcolor{1b0575}{9}^{\textcolor{077851}{4}}=6561$$
Odp. B.
Patrzymy z perspektywy przedmiotów. Każdy z pięciu trafia do jednej z dwóch szuflad.
Wszystkich możliwości jest
$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5= 32$$
Kolejność wylosowanych elementów w kombinacji nie ma znaczenia.
Odp. A.
Ponieważ kolejność wylosowanych kul nie ma znaczenia, więc korzystamy ze wzoru na kombinację:
$$\textcolor{0b2e42}{{n \choose k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}}$$
Ilość możliwych 2-elementowych podzbiorów ze zbioru 5-elementowego jest równa:
$${5 \choose 2} = \dfrac{5!}{2!(5\text{-}2)!}=\dfrac{5\cdot4 \cdot \cancel{3!}}{2\cdot\cancel{3!}}=10$$
