Miejsce zerowe funkcji
Monotoniczność funkcji
Funkcja liniowa
Funkcja kwadratowa
Wierzchołek paraboli
Przekształcanie wykresu funkcji
Funkcja wymierna
Funkcja wykładnicza
Funkcja logarytmiczna
Zadania z funkcji
Funkcja to odwzorowanie.
Funkcja każdemu argumentowi ze zbioru argumentów, czyli z dziedziny, przyporządkowuje dokładnie jedną wartość z przeciwdziedziny.
To każdy argument, dla którego wartość funkcji jest równa $0$.
Czyli miejsce zerowe to taki $x$ z dziedziny, że $f(x)=0$.
Odp. C.
Skoro liczba $-3$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, to
$f(-3)=0$ .
$$f(-3)=(2m-1)(-3) + 9=0$$
$$(2m-1)(-3)=-9$$
$$2m-1=3$$
$$2m=4$$
$$m=2$$
Funkcja monotoniczna to funkcja, która jest rosnąca, malejąca lub stała.
Funkcja $f$ jest rosnąca, gdy dla każdych dwóch argumentów funkcji $x_1, x_2$, takich, że $x_1 < x_2$, zachodzi $f(x_1) < f(x_2)$.
Funkcja $f$ jest malejąca, gdy dla każdych dwóch argumentów funkcji $x_1, x_2$, takich, że $x_1 < x_2$, zachodzi $f(x_1) > f(x_2)$.
Fukcja stała przyjmuje dla każdego argumentu tę samą wartość.
$\textcolor{6A0E4A}{a}$ - współczynnik kierunkowy decydujący o nachyleniu prostej
$\textcolor{075658}{b}$ - wyraz wolny, decydujący o położeniu prostej, a dokładniej $\textcolor{075658}{b}$ jest miejscem przecięcią prostej z osią pionową $Oy$
Odp. B.
Podstawiamy za $\small{x}$ liczbę $\small{3}$ i za $\small{f(x)}$ liczbę $\small{-2}$.
$$\hspace{0.5cm} \small{-2=5 \cdot 3+b-4}$$
$$\small{2=15+b}$$
$$\small{b=-13} \hspace{0.25cm}$$
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Przykłady: $$\textcolor{0A3B3B}{f(x)=2x^2 \hspace{1.5cm} g(x)=-x^2 + 4x - 3}$$
$$\textcolor{0E514E}{1. \Delta > 0}$$ $$x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ $$x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$\textcolor{0E514E}{2. \Delta = 0}$$ $$x = -\dfrac{b}{2a}$$
$$\textcolor{0E514E}{3. \Delta < 0}$$ $$\text{\small{Brak pierwiastków.}}$$
$\textcolor{216C68}{a,b,c}$ to współczynniki liczbowe, przy czym $a \ne 0$
1. $\Delta > 0$ $$\textcolor{155249}{f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}$$ $x_1$ i $x_2$ - pierwiastki funkcji $f$
2. $\Delta = 0$, czyli gdy $x_1=x_2$, to postać iloczynowa to: $$\textcolor{155249}{f(x)=a(x-x_1)^2}$$ $x_1$ - pierwiastek funkcji $f$
Odp. A.
Współczynnik $a$ jest równy $\text{-2}$, czyli jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Funkcja jest rosnąca od $\text{-}\infty$ do
$x$-owej współrzędnej wierzchołka równej $1$.
Wierzchołek paraboli o równaniu $$y=x^2-3x+2$$ ma współrzędne: $$\left(\dfrac{3}{2}, \text{-}\dfrac{1}{4}\right)$$
Wykres funkcji można przesunąć w prawo, lewo, w górę lub w dół.
Załóżmy $a>0$ i weźmy funkcję $f(x)$.
$f(x-a)$ - przesuwa wykres funkcji $f$ w prawo o $a$ jednostek
$f(x+a)$ - przesuwa wykres funkcji $f$ w lewo o $a$ jednostek
$f(x)+a$ - przesuwa wykres funkcji $f$ w górę o $a$ jednostek
$f(x)-a$ - przesuwa wykres funkcji $f$ w dół o $a$ jednostek
Odp. C.
Jeśli do argumentu funkcji dodajemy liczbę dodatnią, to przesuwamy wykres funkcji w lewo.
Dodanie do argumentu funkcji $f$ liczby $1$ przesuwa wykres tej funkcji o $1$ w lewo.
Przykłady:
$$\textcolor{35390F}{f(x)=\dfrac{2}{x+1} \hspace{0.5cm} g(x)=-\dfrac{5}{x^2} \hspace{0.5cm} h(x) = \dfrac{x^2-3x+2}{-x-6}}$$
Funkcja homograficzna jest szczególnym rodzajem funkcji wymiernej.
$$\textcolor{062F26}{f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}}$$
gdzie $ad-bc \ne 0$ oraz $c \ne 0$.
Odp. C.
$$f(2)-f(-2)=\dfrac{4}{2}-4-\left(\dfrac{4}{-2}-4\right)=$$
$$=2-4-(-2-4)=-2-(-6)=4$$
Przykłady:
$$\textcolor{0F4B4B}{f(x)=2^x \hspace{1.3cm} g(x)=5^x \hspace{1.3cm} h(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x}$$
Odp. B.
$$f(3)=2^3=8$$
Przykłady:
$$\textcolor{3D064A}{f(x)=\log_2 x \hspace{1cm} g(x)=\log_5 x \hspace{1cm} h(x)=\log_{\frac{1}{2}} x}$$
Odp. B.
$$f(27)=\log_3 27 = 3$$
