Wyrażenia wymierne

To wyrażenie postaci $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, gdzie $P$ i $Q$ są wielomianami (stopień wielomianu $Q$ większy od zera).

Więcej

Przykłady:
$$\dfrac{2}{x+1} \hspace{0.8cm} \dfrac{x^2-3x+2}{-x-6} \hspace{0.8cm} \dfrac{-5}{x^2-1} \cdot \dfrac{x^3-1}{x^2+4x+4}$$

Rozwiązanie

Odp. B.
Przepisujemy wyrażenie, ale zamiast $x$ piszemy $5$ i obliczamy wartość wyrażenia. $$\dfrac{5-3}{5-1}\cdot \dfrac{5^2-1}{5^2-9}=\dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{4}$$

Do strony →

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Dziedziną wyrażenia wymiernego $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych będących pierwiastkami wielomianu $Q$, bo zerują one mianownik wyrażenia.

Więcej

Rozwiązanie

Odp. C.
Z dziedziny wyrzucamy te liczby, które po podstawieniu za $x$ zerują mianownik. Dziedzina wyrażenia to $$D = \mathbb{R} \setminus \{4\}$$

Do strony →

Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych

Przykład:

Uprość wyrażenie wymierne: $$\textcolor{10454B}{\dfrac{5x}{15x^2}}$$
Dziedzina tego wyrażenia to $D=\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Możemy skrócić licznik i mianownik przez $5x$. $$\textcolor{10454B}{\dfrac{5x}{15x^2}=\dfrac{1 \cdot \cancel{5x}}{3x \cdot \cancel{5x}}=\dfrac{1}{3x}}$$

Więcej

Inny przykład:

Uprość wyrażenie wymierne: $$\textcolor{10454B}{{\dfrac{(x-5)(x+1)}{(x+3)(x+1)}}}$$
Dziedzina tego wyrażenia to $D=\mathbb{R} \setminus \{\text{-}3,\text{-}1\}$.
Możemy skrócić licznik i mianownik przez $(x+1)$. $$\textcolor{10454B}{\dfrac{(x-5)\cancel{(x+1)}}{(x+3)\cancel{(x+1)}}=\dfrac{x-5}{x+3}}$$

Rozwiązanie

Odp. A.
$$\dfrac{3\cancel{(x+2)}(x-8)}{\cancel{(x+2)}(x-5)}=\dfrac{3(x-8)}{x-5}$$

Do strony →

Równania wymierne

Przykład: $$\textcolor{0A484F}{\dfrac{x^2-4}{x+2}=0}$$ Rozwiązanie:

Dziedzina równania to $D = \mathbb{R} \setminus \{\text{-}2\}$.

Upraszczamy lewą stronę równania: $$\textcolor{0A484F}{\dfrac{x^2-4}{x+2}} = \dfrac{(x-2)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} = x-2$$ $$x-2 = 0$$ $$x=2 \in D$$

Więcej

Rozwiązywanie równania wymiernego krok po kroku

1. Wyznaczyć dziedzinę równania wymiernego. Trzeba z dziedziny wyrzucić miejsca zerowe mianownika. Czyli wyrzucić liczby, które zerują mianownik - by nie dzielić przez $0$.

2. Uprościć wyrażenie wymierne, jeśli się da.

3. Przyrównać licznik wyrażenia wymiernego do $0$ i rozwiązać równanie wielomianowe.

4. Spojrzeć na dziedzinę, by ewentualnie wykluczyć te rozwiązania, które do niej nie należą.

5. Zapiasać rozwiązania po uwzględnieniu dziedziny.

Rozwiązanie

Odp. A.

$D = \mathbb{R} \setminus \{-7,7\}$ $$\dfrac{x^2-7x}{x^2-49} = \dfrac{x\cancel{(x-7)}}{\cancel{(x-7)}(x+7)} = \dfrac{x}{x+7}$$ $$\dfrac{x}{x+7}=0$$ $$x=0 \in D$$ Równanie ma jedno rozwiązanie $x=0$ .

Do strony →