Twierdzenie o dwusiecznej
Χαίρετε! Witajcie! Dziś czas na nowe twierdzenie!
Zanim jednak, pora na przypomnienie:
Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli go na dwa kąty przystające, czyli równej miary.
Twierdzenie o dwusiecznej
Jeśli kąt wewnętrzny trójkąta przedzielimy dwusieczną, to zachodzą następujące stosunki odcinków: $$\textcolor{c7f3e4}{\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}}$$ $$\textcolor{f7ffe5}{\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}}$$
Przykład 1.
Z wierzchołka $A$ trójkąta $ABC$ poprowadzono dwusieczną, która przecina podstawę w punkcie $D$. Odcinki w trójkącie mają długości jak na rysunki. Znajdź $x$, czyli długość odcinka $CD$.
Z twierdzenia o dwusiecznej mamy, że $$\dfrac{8}{x} = \dfrac{16}{12}$$ $$16x=12 \cdot 8 = 96$$ $$x = 6$$
Z wierzchołka $B$ trójkąta $ABC$ poprowadzono dwusieczną, która przecina przeciwległy bok w punkcie $D$. Odcinki w trójkącie mają długości jak na rysunki. Znajdź $x$.
Z twierdzenia o dwusiecznej mamy, że $$\dfrac{2x-4}{15} = \dfrac{8}{|AD|}$$ Ponieważ $$|AD| = 18 - 8 = 10$$ więc $$\dfrac{2x-4}{15} = \dfrac{8}{10}$$ $$(2x-4)10 = 8 \cdot 15$$ $$20x-40 = 120$$ $$20x = 160$$ $$x = 8$$
