Twierdzenie cosinusów
Χαίρετε! Witajcie! Zaczniemy naszą podróż od podstaw, czyli od figur.
Czy wiecie, że każda z nich skrywa tajemnicę?
Przed dwoma tysiącami lat udało mi się odkryć tajemnicę trójkąta prostokątnego.
Kto wie? Może wy odkryjecie kolejną?
Twierdzenie cosinusów
Dla każdego trójkąta prawdą jest, że
$$\textcolor{cabdd2}{c}^2 = \textcolor{c6da94}{a}^2 + \textcolor{87bfc2}{b}^2 - 2\textcolor{c6da94}{a}\textcolor{87bfc2}{b}\cos\alpha$$
gdzie $\textcolor{f7ffe5}{\textcolor{c6da94}{a},\textcolor{87bfc2}{b},\textcolor{#cabdd2}{c}}$ - długości boków trójkąta, $\alpha$ - kąt między bokami $\textcolor{c6da94}{a}$ i $\textcolor{87bfc2}{b}$
Trochę to przypomina twierdzenie mojego imienia, nie sądzisz?
To nie przypadek.
Cosinusa kąta prostego równy jest $0$, więc dla $\alpha = 90^\circ$
twierdzenie cosinusów staje się twierdzeniem... no... mojego imienia...
czyli twierdzeniem Pitagorasa!
Przykład 1.
Dwa boki trójkąta mają długość $4$ cm i $6$ cm i tworzą kąt $60^\circ$. Oblicz długość trzeciego boku.
Szukane: $x$ - długość boku trójkąta
Uzasadnij, że trójkąt o bokach długości $5$, $8$ i $10$ jest rozwartokątny.
Wierzchołek największego kąta wewnętrznego trójkąta leży na przeciwko najdłuższego boku.
Jeśli trójkąt jest rozwartokątny, to największy kąt jest rozwarty i jego wierzchołek leży na przeciwko boku długości $10$.
Zapiszemy twierdzenie cosinusów dla kąta $\alpha$ między bokami długości $5$ i $8$.
$$10^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos\alpha$$
$$100 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos\alpha$$
$$100 = 89 - 80 \cdot \cos\alpha$$
$$11 = - 80 \cdot \cos\alpha$$
$$\cos\alpha = -\dfrac{11}{80}$$
Skoro $\cos\alpha<0$, to $\alpha$ jest rozwarty, co należało wykazać.
Sinus kąta ostrego i rozwartego jest dodatni.
Cosinus kąta ostrego jest dodatni, ale kąta rozwartego jest ujemny.
