Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej
Równania z wartością bezwzględną
Nierówności z wartością bezwzględną
Zadania z wartości bezwzględnej
Na przykład $\textbf{|5|=5}$, bo odległość piątki od zera to $\textbf{5}$.
$\textbf{|-2|=2}$, bo odległosć dwójki od zera to $2$.
Pytanie. Czy wartość bezwzględna może być ujemna?
Oczywiście, że nie! Bo czy odległość może być ujemna?
Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ prawdą jest, że
$$|x| \ge 0$$
Ponadto $|x|=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=0$.
Odp. B.
Skoro $1-\sqrt{2}$ jest liczbą ujemną, to
$$|1-\sqrt{2}| = -(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$$
Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej
Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej z liczby to jej odległość od liczby $\textbf{0}$.Na przykład $\textbf{|-3|=3}$, bo odległość liczby $-3$ od zera to $\textbf{3}$.
Prawdą jest więc, że
$|x|=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=0$.
Odległość $x$ od zera wynosi 0 dokładnie wtedy, gdy $x$ to $0$.
Odp. B.
$$\hspace{0.8cm} 5|x|=0 \quad /:5$$
$$|x|=0$$
Wiadomo, że $|x|=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=0$. Zatem
$$x=0$$
Równania z wartością bezwzględną
$|x-y|$ oznacza odległość między $x$ i $y$ na osi liczbowej.
$|x-a|=b$ oznacza, że odległość $x$ od $a$ jest równa $b$.
Na przykład:
$\textcolor{084238}{|x-3|=2}$ oznacza, że $\textcolor{084238}{x}$ jest odległe od $\textcolor{084238}{3}$ o $\textcolor{084238}{2}$.
Rozwiązaniem tej nierówności jest
$$\textcolor{084238}{x \in \{ 1,5 \}}$$
Odp. A.
Interpretacja geometryczna równania $|x-5|=1$ jest następująca:
$x$ jest odległe od $5$ o $1$.
Liczby odległe o $1$ od $5$ to $4$ i $6$, więc rozwiązaniem równania jest
$$x \in \{4,6\}$$
Nierówności z wartością bezwzględną
$|x-a| > b$ oznacza, że odległość $x$ od $a$ jest większa od $b$.
$|x-a| < b$ oznacza, że odległość $x$ od $a$ jest mniejsza od $b$.
Na przykład:
$\textcolor{3D0842}{|x-3|>2}$ oznacza, że $\textcolor{3D0842}{x}$ jest odległe od $\textcolor{3D0842}{3}$ o więcej niż $\textcolor{3D0842}{2}$.
Rozwiązaniem tej nierówności jest
$$\textcolor{3D0842}{x \in (-\infty,1) \cup (5,+\infty)}$$
Odp. C.
Interpretacja geometryczna nierówności $|x-5|<1$ jest następująca:
$x$ jest odległe od $5$ o mniej niż $1$.
Liczby odległe od $5$ o mniej niż $1$ są z przedziału $(4,6)$, więc rozwiązaniem nierówności jest
$$x \in (4,6)$$
