Koło i okrąg
Χαίρετε! Witajcie! Dziś koło, czyli największy wynalazek ludzkości!
Niestety to nie Ateńczyczy je wynaleźli. Dużo wcześniej jako pierwsi wpadli na nie Sumerowie w Mezopotamii, choć wiele ludów w Azji czy Europie ma w tej kwestii inne zdanie. Ciekawe, czy różni ludzi wynaleźli koło odrębnie, czy ktoś wpadł na nie pierwszy i rozpowszchnił na całym świecie? Jak sądzicie?
Czym się koło różni od okręgu?
Koło to okrąg i wszystko co w jego wnętrzu.
Patrząc inaczej, okrąg to sam brzeg koła.
Pole koła to $$\textcolor{ffffe6}{P = \pi r^2}$$ gdzie $r$ - długość promienia okręgu
Obwód koła to $$\textcolor{ffffe6}{Ob = 2\pi r}$$ gdzie $r$ - długość promienia okręgu
$\pi$ to stała matematyczna i wynosi w przybliżeniu $3{,}14$. Wyraża ona stosunek obwodu koła do długości średnicy. Dla każdego koła stosunek ten jest taki sam: $$\dfrac{\footnotesize{\text{Obwód}}}{\footnotesize{\text{dł. średnicy}}}=\dfrac{2\pi r}{2r}=\pi = 3,141592...$$
Z innej beczki, obwód koła o promieniu $r$ i długość okręgu o promieinu $r$ to te same wielkości.
Okrąg o środku $S$ i promieniu $r$, cięciwa $c$
Cięciwa okręgu to każdy odcinek o końcach na okręgu.
Czym jest najdłuższa cięciwa okręgu?
Pole figury $F_1$ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach $1$ i $3$ jest równe polu figury $F_2$ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości $r$ (zobacz rysunek).
Szukane: $r$ - długość promienia
$r>0$
Pola figur $F_1$ i $F_2$ są równe:
$$P_{F_1}=P_{F_2}$$
$$\pi \cdot 1^2 + \pi \cdot 3^2 = 2 \cdot \pi r^2 \hspace{1cm}$$
$$\hspace{1.3cm} 10\pi = 2\pi r^2 \quad /:2\pi$$
$$5=r^2$$
$$r=\sqrt{5}$$
Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg
Kąt wpisany to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona są cięciwami okręgu.
Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu, a ramiona są promianiami okręgu.
Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
Oba kąty oparte są na tym samym łuku.
Łuk okręgu to część okręgu wyznaczona
przez ramiona kąta środkowego.
Przykład 1.
Punkty $A,B,C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ACO$ ma miarę $70^\circ$ (zobacz rysunek).
Szukane: $|\angle{ABC}|$ - miara kąta $ABC$
Ponieważ boki $AO$ i $CO$ trójkąta $ACO$ są promieniami okręgu, więc $|AO|=|CO|$.
Trójkąt $ACO$ jest więc równoramienny. Mamy, że
$$70^\circ + 70^\circ + |\angle{AOC}| = 180^\circ$$ $$|\angle{AOC}| = 40^\circ$$ Kąt $AOC$ jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku $AC$, co kąt wpisany $ABC$.
Zatem $$|\angle{ABC}| = \dfrac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ$$
Środek $S$ okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym $ABC$, o ramionach $AC$ i $BC$, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
Kąt $ASB$ jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku $AB$, co kąt wpisany $ACB$.
Zatem
$$|\angle{ACB}|=\dfrac{1}{2}|\angle{ASB}|$$
Trójkąty $ASC$ i $SBC$ są przystające, ponieważ mają boki tej samej długości: każdy dwa boki - promienie okręgu oraz po jednym ramieniu trójkąta równoramienngo $ABC$.
Mamy więc, że
$$|\angle{SCB}|=\dfrac{1}{2}|\angle{ACB}| = \dfrac{1}{4}|\angle{ASB}|$$
Ponieważ boki $CS$ i $SB$ trójkąta $SBC$ są promieniami okręgu, więc trójkąt ten jest równoramienny.
$$|\angle{SBC}|=|\angle{SCB}|$$
$$|\angle{SBC}|=\dfrac{1}{4}|\angle{ASB}|$$
co należało wykazać.
