Czworokąty
Czworokąty
Twierdza → Wstęp → Czworokąty
Matematyka

Czworokąty

Czworokąty
Czworokąty

Χαίρετε! Witajcie! W końcu przyszedł czas na czworokąty.

Czy wiecie, że każdy z nich skrywa tajemnicę?
Tak zawsze powiadał Euklides, a napisał on najważniejszy w historii podręcznik do geometrii Elementy. Może i wy jakąś tajemnicę odkryjecie?

To figury płaskie o czterech bokach

Zadanie 1.
Zaznacz czworokąt.
A. podstawa trapezu
B. sześcian
C. czworobok
D. bok kwadratu
Matematyka

Kwadrat

Ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne proste.

Pole kwadratu: P=a2\textcolor{ffffe6}{P = \textcolor{f6fe4e}{a}^2} gdzie a\textcolor{f6fe4e}{a} - długości boku kwadratu
Obwód kwadratu: Ob=4a\textcolor{ffffe6}{Ob = 4\textcolor{f6fe4e}{a}} gdzie a\textcolor{f6fe4e}{a} - długość boku kwadratu

Czworokąty
Zadanie 2.
Pole kwadratu o boku długości 0,50{,}5 metra wynosi
A. 1 m21\,\small{m^2}
B. 0,5 m20{,}5\,\small{m^2}
C. 2,5 m22{,}5\,\small{m^2}
D. 0,25 m20{,}25\,\small{m^2}
Matematyka

Prostokąt

Ma dwie pary boków równoległych i wszystkie kąty wewnętrzne proste.

Pole prostokąta: P=ab\textcolor{ffffe6}{P = \textcolor{f6fe4e}{ab}} gdzie a,b\textcolor{f6fe4e}{a}, \textcolor{f6fe4e}{b} - długości boków prostokąta
Obwód prostokąta: Ob=2(a+b)\textcolor{ffffe6}{Ob = 2(\textcolor{f6fe4e}{a}+\textcolor{f6fe4e}{b})} gdzie a,b\textcolor{f6fe4e}{a}, \textcolor{f6fe4e}{b} - długości boków prostokąta

Czworokąty
Zadanie 3.
Pole prostokąta wynosi 48 cm248 \small{ cm^2}. Długości boków pozostają w stosunku 3:43:4. Obwód prostokąta równy jest
A. 2020
B. 2424
C. 2828
D. 3232
Matematyka

Romb

Ma wszystkie boki równej długości.

Pole rombu: P=d1d22\textcolor{ffffe6}{P = \dfrac{\textcolor{b3ffff}{d_1d_2}}{2}} gdzie d1,d2\textcolor{b3ffff}{d_1}, \textcolor{b3ffff}{d_2} - długości przekątnych rombu

Pole rombu to również: P=a2sin⁡α\textcolor{ffffe6}{P = \textcolor{f6fe4e}{a}^2\sin\alpha} gdzie a\textcolor{f6fe4e}{a} - długość boku rombu, α\textcolor{ffffe6}{\alpha} - dowolny kąt wewnętrzny rombu
Obwód rombu: P=4a\textcolor{ffffe6}{P = 4\textcolor{f6fe4e}{a}} gdzie a\textcolor{f6fe4e}{a} - długość boku rombu

Czworokąty
Zadanie 4.
Pole rombu o obwodzie 2020 i kącie rozwartym 120∘120^\circ jest równe
A. 2532\dfrac{25\sqrt{3}}{2}
B. 532\dfrac{5\sqrt{3}}{2}
C. 252\dfrac{25}{2}
D. 2534\dfrac{25\sqrt{3}}{4}
Matematyka

Równoległobok

Ma dwie pary boków równoległych.

Pole równoległoboku: P=ah\textcolor{ffffe6}{P = \textcolor{f6fe4e}{a}\textcolor{e8b3a9}{h}} gdzie a\textcolor{f6fe4e}{a} - długość boku równoległoboku, h\textcolor{e8b3a9}{h} - wysokość opuszczona na ten bok

Pole równoległoboku to także: P=absin⁡α\textcolor{ffffe6}{P = \textcolor{f6fe4e}{ab}\sin\alpha} gdzie a,b\textcolor{f6fe4e}{a}, \textcolor{f6fe4e}{b} - długości boków równoległoboku, α\textcolor{ffffe6}{\alpha} - dowolny kąt wewnętrzny równoległoboku

Obwód równoległoboku: P=2(a+b)\textcolor{ffffe6}{P = 2(\textcolor{f6fe4e}{a}+\textcolor{f6fe4e}{b})} gdzie a,b\textcolor{f6fe4e}{a}, \textcolor{f6fe4e}{b} - długości boków równoległoboku

Czworokąty
Zadanie 5. 📃
W równoległoboku ABCDABCD, przedstawionym na rysunku, kąt α\alpha ma miarę 70∘70^\circ. Wtedy kąt β\beta ma miarę
A. 80∘80^\circ
B. 70∘70^\circ
C. 60∘60^\circ
D. 50∘50^\circ
Czworokąty
Matematyka

Trapez

Ma jedną parę boków równoległych.

Pole trapezu: P=a+b2h\textcolor{ffffe6}{P = \dfrac{\textcolor{f6fe4e}{a} + \textcolor{f6fe4e}{b}}{2}\textcolor{e8b3a9}{h}} gdzie a,b\textcolor{f6fe4e}{a}, \textcolor{f6fe4e}{b} - długości podstaw trapeza, h\textcolor{e8b3a9}{h} - wysokość trapeza
Obwód trapezu: P=a+b+c+d\textcolor{ffffe6}{P = \textcolor{f6fe4e}{a}+\textcolor{f6fe4e}{b}+\textcolor{f6fe4e}{c}+\textcolor{f6fe4e}{d}} gdzie a,b\textcolor{f6fe4e}{a}, \textcolor{f6fe4e}{b} - długości podstaw trapezu, c,d\textcolor{f6fe4e}{c}, \textcolor{f6fe4e}{d} - długości boków trapezu

Czworokąty
Zadanie 6. 📃
 W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 66. Oblicz obwód tego trapezu.
Rozwiązanie

Szukane: ObOb - obwód trapezu

Czworokąty

Ob=a+b+12Ob = a + b + 12

Trójkąt ACDACD ma miary kątów 30∘,60∘,90∘30^\circ, 60^\circ, 90^\circ. Zatem stosunki długości jego boków to a:b:6=1:3:2a:b:6=1:\sqrt{3}:2 Stąd a=3a = 3 b=33b=3\sqrt{3} Ob=3+33=12=15+33Ob = 3 + 3\sqrt{3} = 12 = 15 + 3\sqrt{3}

Matematyka
Zadanie 7. 📃
 Dany jest trapez równoramienny ABCDABCD, w którym podstawa CDCD ma długość 66, ramię ADAD ma długość 44, a kąty BADBAD oraz ABCABC mają miarę 60∘60^\circ (zobacz rysunek).
Czworokąty
Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie

Szukane: PP - pole trapezu ABCDABCD

Czworokąty
P=6+∣AB∣2hP = \dfrac{6+|AB|}{2}h

Skoro trójkąt AEDAED ma miary kątów 30∘,60∘,90∘30^\circ, 60^\circ, 90^\circ, to ∣AE∣=2|AE|=2 h=23h=2\sqrt{3} Zatem ∣AB∣=2+6+2=10|AB| = 2 + 6 + 2 = 10 P=6+10223=163P=\dfrac{6+10}{2}2\sqrt{3}=16\sqrt{3}

Matematyka
 ⌂
☰
←
→

Prosta, odcinek  |  Kąty  |  Trójkąty📐  |  Twierdzenie Pitagorasa📐  |  Czworokąty  |  Wielokąty  |  Koło i okrąg  |  Podobieństwo  |  Twierdzenie Talesa  |  Twierdzenie o dwusiecznej  |  Twierdzenie cosinusów  |  Zadania