Podobieństwo figur
Χαίρετε! Witajcie! Przejdziemy do podobieństwa figur.
Czy wiecie, że każda z nich skrywa tajemnicę?
Figury podobne mają taki sam kształt
Choć mogą różnić się rozmiarem.
Jeśli dwie figury podobne mają ten sam rozmiar, to są przystające.
Wszystkie koła są podobne, a skala podobieństwa to stosunek ich promieni.
Wszystkie okręgi są podobne.
Ponadto wszystkie kwadraty są podobne.
Wszystkie trójkąty równoboczne są podobne.
Ale co jeśli dwa trójkąty nie są równoboczne?
Skąd mamy wiedzieć, czy są podobne?
Korzystając z cech podobieństwa.
Trójkąty podobne
Cechy podobieństwa trójkątów:
$\textcolor{ddffe8}{kkk}$ - kąt-kąt-kąt
Miary odpowiednich kątów trójkątów są równe.
$\textcolor{ddffe8}{bbb}$ - bok-bok-bok
Stosunki długości boków w trójkatach są równe.
$$\dfrac{|AB|}{|DE|}=\dfrac{|BC|}{|EF|}=\dfrac{|AC|}{|DF|}$$
Ponadto, każdy z tych ułamków jest równy skali podobieństwa $k$.
$\textcolor{ddffe8}{bkb}$ - bok-kąt-bok
Stosunki dwóch par boków są równe i miary kątów między parą boków w obu trójkątach są równe.
$$\dfrac{|AB|}{|DE|}=\dfrac{|BC|}{|EF|}$$
Przykład 1.
Dwa trójkąty są podobne (zobacz rysunek). Oblicz długość boku $x$.
Szukane: $x$ - długość boku trójkąta
Oto kilka przykładów podobieństwa innych figur:
1. Podobieństwo prostokątów: Prostokąty są podobne, gdy stosunek długości ich boków jest taki sam.
2. Podobieństwo wielokątów: Wielokąty są podobne, gdy wszystkie kąty w jednym wielokącie są równe kątom w drugim wielokącie, a stosunki długości odpowiednich boków są równe.
Jeśli figury są podobne w skali podobieństwa $\textcolor{ccffee}{k}$, to ich pola są podobne w skali podobieństwa $\textcolor{ccffee}{k^2}$.
Przykład 2.
Kąt $CAB$ trójkąta prostokątnego $ACB$ ma miarę $30^\circ$. Pole kwadratu $DEFG$, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe $4$. Oblicz pole trójkąta ACB.
Bok $ED$ kwadratu $DEFG$ ma długość $$|ED|=\sqrt{4}=2$$ Ponieważ trójkąt $DAE$ ma kąty $30^\circ,60^\circ,90^\circ$, więc $$|DA|=2|ED|=4, \quad |AE|=2\sqrt{3}$$ Miara kąta $CDG$ równa jest $30^\circ$. Zatem trójkąty $DAE$ i $CDG$ są podobne ($kkk$). Mamy więc, że $$\dfrac{|CG|}{2}=\dfrac{2}{4}$$ $$|CG|=1$$ Zatem $$|CD|=\sqrt{3}$$ Kąt $FBG$ ma miarę $60^\circ$, więc trójkąty $DAE$ i $GFB$ są podobne ($kkk$). Zachodzi, że $$\dfrac{|BG|}{4}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}$$ $$|BG|=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$$ Zatem $$P = \dfrac{1}{2}(\sqrt{3}+4)(1+\dfrac{4\sqrt{3}}{3})$$ $$P = \dfrac{1}{2}(\sqrt{3}+4+\dfrac{4\cdot3}{3}+\dfrac{16\sqrt{3}}{3})$$ $$P = \dfrac{\sqrt{3}}{2}+4+\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$$ $$P = 4+\dfrac{19\sqrt{3}}{6}$$