Liczby całkowite
Liczby wymierne
Liczby niewymierne
Liczby rzeczywiste
Cechy podzielności
Podzielność - dowodzenie
Potęgi i pierwiastki - wzory
Procenty, procent prosty i składany
Liczby pierwsze
Notacja wykładnicza
Zadania z liczb
Czasem zaliczamy do zbioru liczb naturalnych też zero.
Nie trzeba się tym jednak przesadnie martwić, bo tu ciągle każdy i tak zmienia zdanie.
Najlepiej będzie zapytać prowadzącego.
Zbiór liczb naturalnych z zerem zapiszemy
$$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\}$$
Jak chcę podkreślić, że mowa o zbiorze liczb naturalnych dodatnich, czyli bez zera, to dodaję na dole plus:
$$\mathbb{N}_+ = \{1, 2, 3, 4, ...\}$$
Odp. C.
Liczby naturalne to $1,2,3,4,5$ i tak dalej. Spośród liczb w odpowiedziach, tylko $5$ jest liczbą naturalną.
Zbiór liczb całkowitych oznaczamy: $\mathbb{Z}$ $$\mathbb{Z} = \{..., \text{-}2, \text{-}1, 0, 1, 2, ...\}$$
Liczby całkowite to liczby naturalne i liczby do nich przeciwne.
Odp. C.
Tylko $3$ i $\text{-}1$ są liczbami całkowitymi. Liczby naturalne to $1,2,3,4,5$ i tak dalej. Zatem $3$ jest zarówno liczbą całkowitą, jak i naturalną. Liczbą całkowitą, która nie jest naturalna, jest $\text{-}1$.
Przykłady:
$$\textcolor{13636A}{\dfrac{1}{2} \hspace{1.5cm} \dfrac{3}{100} \hspace{1.5cm} 5 \hspace{1.5cm} \text{-}\dfrac{30}{17}}$$
Zbiór liczb wymiernych oznaczamy: $\mathbb{Q}$
Pewnie się zastanawiasz: Co tu robi liczba $\textcolor{13636A}{5}$, skoro nie jest ułamkiem? Ale:
$$\textcolor{13636A}{5 = \dfrac{5}{1}}$$
Krótko mówiąc, wszystkie liczby całkowite też są wymierne.
Odp. A.
Liczby wymierne to ułamki zwykłe o liczniku i niezerowym mianowniku całkowitym lub liczby, które można tak zapisać.
Liczba $\dfrac{1}{4}$ spełnia to kryterium, a w dodatku nie jest całkowita.
Przykłady:
$$\textcolor{3F135E}{\sqrt{2} \hspace{1.4cm} \dfrac{\sqrt{5}}{2} \hspace{1.4cm} \pi \hspace{1.4cm} \text{-}\sqrt[5]{20}}$$ Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy: $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
Liczba niewymierna $\pi$ wynosi w przybliżeniu $3{,}14$.
Wartość ta to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
W każdym kole ten stosunek wynosi tyle samo - właśnie $\pi$.
Odp. C.
Pierwiastki kwadratowe z liczb, które nie są kwadratami żadnej liczby naturalnej, są niewymierne. Liczba $17$ nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej, więc $\sqrt{17}$ jest niewymierne.
Przykłady:
$$\textcolor{064919}{\dfrac{3}{5} \hspace{1.6cm} 0 \hspace{1.6cm} \text{-}125 \hspace{1.6cm} \dfrac{\sqrt{2}}{5}}$$ Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy: $\mathbb{R}$
Przeciwnością liczby $a$ jest liczba $\text{-}a$ .
Odwrotnością liczby $a \ne 0$ jest liczba $\dfrac{1}{a}$ .
Odp. B.
Odwrotnością liczby $a \ne 0$ jest liczba $\dfrac{1}{a}$ .
Odwrotnością liczby $3-\sqrt{2}$ jest liczba
$$\dfrac{1}{3-\sqrt{2}}=\dfrac{1}{3-\sqrt{2}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=$$
$$=\dfrac{3+\sqrt{2}}{3^2 - \sqrt{2}^2}=\dfrac{3+\sqrt{2}}{7}$$
Liczba jest podzielna... , gdy...
Odp. C.
Liczba jest podzielna przez $9$, gdy suma jej cyfr dzieli się przez $9$.
Suma cyfr liczby $648$ jest równa $6 + 4 + 8 = 18$.
$18 : 9 = 2$. Liczba $648$ jest też parzysta.
Podzielność dowodzimy przez mnożenie.
Przykład
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $4n+4$ jest podzielna przez 4.
Rozwiązanie
Niech $n \ge 1$ będzie dowolną liczbą naturalną.
$$4n+4=4(n+1), \quad n+1 \in \mathbb{N}$$
co należało wykazać.
Wykaż, że liczba $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}$ jest podzielna przez $17$.
Wyłączymy przed nawias czynnik $4^{2017}$. $$4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} =$$ $$= 4^{2017} \cdot \textcolor{004D40}{1} + 4^{2017} \cdot \textcolor{004D40}{4} + 4^{2017} \cdot \textcolor{004D40}{4^2} + 4^{2017} \cdot \textcolor{004D40}{4^3} =$$ $$= 4^{2017}(\textcolor{004D40}{1} + \textcolor{004D40}{4} + \textcolor{004D40}{16} + \textcolor{004D40}{64}) = 85 \cdot 4^{2017} = 17 \cdot 5 \cdot 4^{2017}$$ co należało wykazać.
$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \hspace{1.5cm} (a^n)^m = a^{n \cdot m}$
$\sqrt{a^2}=|a| \hspace{1.5cm} a^{\text{-}n}=\dfrac{1}{a^n}$
$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} \hspace{1.5cm} \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \hspace{1.5cm}$
Odp. C.
Najpierw upraszczamy licznik zgodnie ze wzorem
$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.
$$2^5 \cdot 2^6 = 2^{5+6}=2^{11}$$
Teraz upraszczamy ułamek zgodnie ze wzorem
$\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$.
$$\dfrac{2^{11}}{2^{10}}=2^{11-10} = 2^1 = 2$$
Procenty to sposób wyrażania ułamka liczby $100$. Słowo „procent" pochodzi od łacińskiego „per centum", co oznacza „na sto".
Przykłady ułamków zapisanych w procentach:
$$0{,}2 = 20\%$$
$$0{,}65 = 65\%$$
$$\dfrac{4}{5} = \dfrac{80}{100} = 80\%$$
By zamienić ułamek zwykły na procenty, należy rozszerzyć go do mianownika $100$.
Procent prosty:
$$K=K_0(1+rn)$$
gdzie $K$ - kapitał końcowy, $K_0$ - kapitał początkowy, $r$ - roczna stopa oprocentowania, $n$ - ilość okresów kapitalizacji
Procent składany:
$$K=K_0(1+r)^n$$
gdzie $K$ - kapitał końcowy, $K_0$ - kapitał początkowy, $r$ - roczna stopa oprocentowania, $n$ - ilość okresów kapitalizacji
Odp. A.
Zapisujemy $a = \dfrac{a}{1}$. Licznik zmniejszamy, a mianownik zwiększamy o połowę.
$$b=\dfrac{\frac{1}{2}a}{2}=\frac{1}{2}a \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}a$$
Liczby pierwsze to takie liczby naturalne większe od $1$, które mają dokładnie dwa różne dzielniki: $1$ i siebie samą.
Liczby pierwsze to $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...$
Liczby złożone to liczby naturalne większe od $1$, które nie są pierwsze, czyli mają przynajmniej jeden dzielnik inny niż $1$ i siebie samą.
Przykłady liczb złożonych: $8, 15, 70, 603, 1000$
Odp. A.
23 ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i siebie samą, co czyni 23 liczbą pierwszą.
To sposób zapisu bardzo małych i dużych liczb.
$$a \cdot 10^n$$ gdzie $a$ jest liczbą z przedziału $\langle 1,10)$ oraz $n$ jest liczbą całkowitą.
Przykłady zapisu liczb w notacji wykładniczej: $$50000 = 5 \cdot 10^4$$ $$3500000000 = 3{,}5 \cdot 10^9$$ $$0{,}002 = 2 \cdot 10^{-3}$$
Odp. B.
Liczba w notacji wykładniczej jest postaci: $$a \cdot 10^n$$
gdzie $a$ należy do przedziału $\langle 1,10)$.
Liczba $5$ należy do przedziału $\langle 1,10)$.
