Przykładowy ciąg: $$2,4,6,8,10,12...$$ Liczby między przecinkami to kolejne wyrazy ciągu.
Wzór tego ciągu to $$a_n=2n$$ dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$ .
Dla $n=1$ mamy:
$$a_1 = 2 \cdot 1 = 2$$
Dla $n=2$:
$$a_2 = 2 \cdot 2 = 4$$
Dla $n=3$:
$$a_3 = 2 \cdot 3 = 6$$
I tak dalej.
Tak obliczamy $n$-ty wyraz ciągu.
Odp. A.
Wzór ciągu to
$$a_n=5n-1$$
Szukamy $a_3$, czyli trzeciego wyrazu ciągu.
Za $n$ we wzorze ciągu podstawiamy więc $3$.
$$a_3 = 5 \cdot 3 - 1 = 14$$
$$a_n + r = a_{n+1}$$ dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$ .
Dla ciągu arytmetycznego o wyrazach $2, 4, 6, 8, 10, 12...$
różnica $r$ wynosi $2$.
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to
$$a_n=a_1+(n-1)r$$
gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz ciągu, a $r$ to różnica tego ciągu.
Odp. C.
Skoro $a_2 = a_1 + r$, to $r = a_2 - a_1$.
$$r = 2\cdot2 - 1 - (2 \cdot 1 - 1) = 2$$
Przykład
Niech ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony będzie wzorem
$a_n = 3n+1$ dla każdego naturalnego $n \geq 1$. Znajdź $S_{10}$, czyli sumę dziesięciu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie
Skorzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2} \cdot 10 = 5(a_1+a_{10})$$
Wyliczamy $a_1$ oraz $a_{10}$ .
$$ a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4 \hspace{0.9cm} a_{10} = 3 \cdot 10 + 1 = 31 $$
Zatem
$$S_{10}= 5(4+31) = 175$$
Odp. C.
Liczby naturalne to $1,2,3,4,5$ i tak dalej. Spośród liczb w odpowiedziach, tylko $5$ jest liczbą naturalną.
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. $$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$$
Odp. C.
Skoro $a_1q^2 = a_3$ , to $a_1 = \dfrac{a_3}{q^2}$ .
Ponieważ $a_3q = a_4$, więc $q=\dfrac{a_4}{a_3}$ .
$$q = \dfrac{\frac{2}{3}}{1} = \dfrac{2}{3}$$
$$a_1 = \dfrac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \dfrac{9}{4}$$
Odp. A.
Korzystmy ze wzoru:
$$ S_n = a_1 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$$
dla $n = 5$, $a_1 = 16$ i $q=\dfrac{1}{2}$.
$$S_5=16 \cdot \frac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^5}{1-\dfrac{1}{2}} = 31$$
Przykłady:
Ciąg rosnący: $2, 4, 16, 32, 64, 128, 256...$.
Ciąg malejący: $15,10, 5, 0, -5, -10, -15...$
Ciąg stały: $8, 8, 8, 8, 8, 8, 8...$
Odp. B.
Kolejne wyrazy ciagu danego wzorem $\small{b_n=\text{-}n^2}$ to:
$$a_1 = \text{-}1^2=\text{-}1$$
$$a_2 = \text{-}2^2=\text{-}4$$
$$a_3 = \text{-}3^2=\text{-}9$$
$$a_4 = \text{-}4^2=\text{-}16$$
$$a_5 = \text{-}5^2=\text{-}25$$
Ciąg $\text{-}1, \text{-}4, \text{-}9, \text{-}16, \text{-}25...$ jest malejący.
