Funkcja liniowa

Funkcja liniowa to podstawowa funkcja.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta

Funkcja to odwozorowanie. Przykładowe funkcje liniowe: $\textcolor{cafff0}{f(x) = 2x} \hspace{1.5cm} \textcolor{e0f7ce}{g(x) = -3x+5} \hspace{1.5cm} \textcolor{caffd6}{h(x) = 6}$
Dziedziną funkcji liniowej zawsze jest zbiór liczb rzeczywistych.

By znaleźć wykres funkcji liniowej, wystarczy narysować dwa punkty z jej wykresu
i poprowadzić przez nie prostą.

Funkcję nazywamy liniową, gdy możemy jej wzór przedstawić w postaci

\textcolor{ffffe6}{f(x)=\textcolor{c6da94}{a}x+\textcolor{36CACD}{b}}

gdzie

\textcolor{c6da94}{a}

\textcolor{36CACD}{b}

są parametrami, które decydują o nachyleniu i położeniu wykresu funkcji liniowej, czyli prostej.

\textcolor{c6da94}{a}

- współczynnik kierunkowy decydujący o nachyleniu prostej

\textcolor{27B9BC}{b}

- wyraz wolny, decydujący o położeniu prostej, a dokładniej

\textcolor{36CACD}{b}

jest miejscem przecięcią prostej z osią pionową

Oy

Wykres funkcji liniowej

$\textcolor{cafff0}{f(x) = 2x}$ $\textcolor{cafff0}{f(}0\textcolor{cafff0}{) = 2 \cdot }0 = 0$ , co daje punkt $(0,0)$
$\textcolor{cafff0}{f(}1\textcolor{cafff0}{) = 2 \cdot }1 = 2$ , co daje punkt $(1,2)$

Narusyjemy oba punkty i poprowadzimy przez nie prostą.

Narysowaliśmy wykres funkcji liniowej

\textcolor{cafff0}{f}

Zadanie 1.
Wzór funkcji

f

f(x)=2x

. Wobec tego

f(3)

jest równe

0

6

5

-5

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Czyli taki argument $x$ , dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$ .
Miejsce zerowe znajdziemy przyrównując wzór funkcji do $0$ .

Przykład 1.
Znajdź miejsce zerowe funkcji $f$ o wzorze $f(x) = 2x+1$ .

Przyrównamy wzór funkcji do $0$ . $2x + 1 = 0$ $2x = -1$ $x = -\dfrac{1}{2}$ Miejsce zerowe funkcji $f$ to $x_0=-\dfrac{1}{2}$ .

Przykład 2.
Znajdź miejsce zerowe funkcji $f$ o wzorze $f(x) = -3x+5$ .

$-3x+5=0$ $-3x = -5$ $x = \dfrac{5}{3}$ Miejsce zerowe funkcji $f$ to $x_0=\dfrac{5}{3}$ .

Tak właśnie oznaczamy miejsce zerowe:

x_0

Zadanie 2. 📃
Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f(x)=-\dfrac{1}{3}(x+3)+5

jest liczba

-3

\dfrac{9}{2}

5

12

Monotoniczność funkcji liniowej

Funkcja jest rosnąca, gdy $\textcolor{cafff0}{a > 0}$

Malejąca, gdy $\textcolor{e0f7ce}{a < 0}$

Stała, gdy $\textcolor{caffd6}{a = 0}$
i wówczas wzór funkcji $f$ ma postać $f(x)=0 \cdot x + b = b$ .

Funkcję postaci $f(x)=c$ nazywamy funkcją stałą.

Dla wszystkich argumentów przyjmuje jedną i tę samą wartość $c$ .
Funkcje stałe to na przykład $f(x) = 1$ lub $h(x) = -5$ .

Funcja stała

Narysowaliśmy wykres funkcji stałej

\textcolor{caffd6}{f(x) = 1}

Funcja rosnąca

Narysowaliśmy wykres funkcji rosnącej $\textcolor{cafff0}{g(x) = 4x-1}$ .

Funcja malejąca

Narysowaliśmy wykres funkcji malejącej $\textcolor{e0f7ce}{h(x) = -2x+3}$ .

Przykład 3.
Znajdź wzór funkcji liniowej $f$ , której wykres przechodzi przez punkty $A=(-1,2)$ i $B=(3,5)$ .

Funkcja liniowa wyraża się wzorem $f(x)=ax+b$ Pozostaje znaleźć $a$ i $b$ .

Ponieważ mamy dwie zmiennie, więc potrzebujemy ułożyć dwa równania.

Skoro punkt $A=(-1,2)$ należy do wykresu funkcji $f$ , to $2=a\cdot(-1)+b$ Ponadto, jeśli punkt $B=(3,10)$ należy do wykresu funkcji $f$ , to $5=a\cdot3+b$ Rozwiążemy układ równań: $\begin{cases} -a + b = 2 \\ 3a + b = 10\end{cases}$ Z pierwszego równania mamy, że $b=2+a$ . Podstawimy za $b$ w drugim równaniu. $3a + 2 + a = 10$ $4a = 8$ $a = 2, \quad b = 2 + 2 = 4$ $f(x) = 2x + 4$

Zadanie 3. 📃
Punkt

M=(3,−2)

należy do wykresu funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f(x)=5x+b-4

. Wynika stąd, że

b

jest równe

-17

-13

13

17

Zadanie 4. 📃
Funkcja liniowa

f

przyjmuje wartość

2

dla argumentu

0

, a ponadto

f(4)-f(2)=6

. Wyznacz wzór funkcji

f

.
Oblicz wartość współczynnika

a

Rozwiązanie

Skoro funkcja $f$ jest liniowa, to ma wzór $f(x)=ax+b$ Szukane: $a$ - współczynnik kierunkowy

Skoro $f(\textcolor{1a7862}{0})=\textcolor{1a7862}{2}$ , to $\textcolor{1a7862}{2} = a \cdot \textcolor{1a7862}{0} + b$ $b = 2$ Zatem $f(x)=ax+2$ Ponadto $f(4)-f(2)=6$ $a \cdot 4 + 2 - (a \cdot 2 + 2)=6$ $4a + 2 - 2a - 2 = 6$ $2a = 6$ $a = 3$

Zadanie 5. 📃
Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f(x)=ax+b

, gdzie

a

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x,y)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

a

oraz liczba

b

we wzorze funkcji

f

spełniają warunki:

a>0

b>0

a>0

b<0

a<0

b>0

a<0

b<0

← Obliczanie wartości funkcji

Funkcja kwadratowa →