Obliczanie wartości funkcji
By obliczyć wartość funkcji, trzeba znać zależność między argumentemami a wartościami tej funkcji.
Weźmy funkcję, która każdej liczbie całkowitej przypisuje tę liczbę większą o $2$.
Jaki jest wzór takiej funkcji?
Ten wzór to
$$\textcolor{ffffe6}{f(x)=x+2}$$
Funkcja $\textcolor{ffffe6}{f}$ określona jest dla wszystkich $x \in \mathbb{Z}$.
Tak ją określiłem.
Ale po co to piszemy?
By wiedzieć, jaka jest dziedzina funkcji, czyli z jakiej studni czerpać mamy argumenty, czyli różne $x$.
Tutaj tą dziedziną jest zbiór liczb całkowitych, czyli $\mathbb{Z}$.
Funkcja $f$ odwozorowuje zbiór liczb całkowitych na zbiór całkowitych, czyli $\mathbb{Z}$ na $\mathbb{Z}$.
Zapiszemy to tak:
$$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$$
Mówiąc inaczej:
Dziedzina funkcji $f$ to $\mathbb{Z}$.
Przeciwdziedzina funkcji $f$ to także $\mathbb{Z}$.
Wykres funkcji f
Spróbujemy go narysować. Potrzebny nam jest układ współrzędnych.
Przyda się też tabelka po prawej z kilkoma wartościami funkcji $f$.
1. Na początek narysujemy osie współrzędnych.
Oś pozioma, czyli argumentów $x$ i oś pionowa, czyli wartości $y$.
Argumentowi $x$ przypisujemy wartość $x+2$
Weźmy jakiś ustalony argument $x$ z dziedziny, na przykład $\textcolor{ccffff}{x=1}$.
Argumentowi $\textcolor{ccffff}{x=1}$ przypisujemy wartość
$$x+2 = \textcolor{ccffff}{1} + 2 = 3$$
I tak to działa. Zapiszemy
$$f(\textcolor{ccffff}{1})=3$$
i przeczytamy: f od 1 równa się 3.
Przyda się tabelka
Wyznaczymy w niej kilka wartości funkcji $f$.
Argumentowi $\textcolor{ffffe6}{\small{-1}}$ przypisaliśmy wartość $\textcolor{ffffe6}{\small{1}}$.
Argumentowi $\textcolor{ffffe6}{\small{0}}$ przypisaliśmy wartość $\textcolor{ffffe6}{\small{2}}$.
Argumentowi $\textcolor{ffffe6}{\small{1}}$ przypisaliśmy wartość $\textcolor{ffffe6}{\small{3}}$.
Argumentowi $\textcolor{ffffe6}{\small{2}}$ przypisaliśmy wartość $\textcolor{ffffe6}{\small{4}}$.
To tylko kilka przykładowych argumentów i wartości funkcji $f$.
Zbiór wartości funkcji $f$ to $ZW = \mathbb{Z}$.
Widzisz to?
W 2. kroku narysowaliśmy punkt o współrzędnych $(1,3)$. Wzięliśmy go stąd, że funkcja $f$ dla argumentu $1$ przyjmuje wartość $3$.
3. Dorysujemy więcej punktów należących do wykresu funkcji $f$.
To punkty $(-1,1)$, $(0,2)$ i $(2,4)$.
4. Widać, że każdy kolejny punkt znajduje się o $1$ w prawo i o $1$ do góry od poprzedniego. Dorysowaliśmy więc jeszcze parę punktów zgodnie z tą regułą.
Wykres gotowy. Rzecz jasna, dziedziną funkcji $f$ są liczby całkowite, więc do jej wykresu należy nieskończenie wiele punktów.
My narysowaliśmy tylko fragment całego wykresu funkcji $f$, ale to wystarczy.
Miejsce zerowe funkcji
To każdy argument, dla którego wartość funkcji jest równa $0$.
Czyli miejsce zerowe to taki $x$ z dziedziny, że $f(x)=0$.
Funkcja może mieć jedno miejsce zerowe, wiele miejsc zerowych (a nawet nieskończenie wiele) lub też nie mieć żadnego żadnego.
Przykład 1.
Znajdź miejsce zerowe funkcji $h$ danej poniższą tabelką.
Patrzymy na drugi wiersz - ten z wartościami $h(x)$.
Szukamy wartości $0$.
Wartość $0$ przyjmowana jest dla argumentu $1$.
Miejsce zerowe funkcji $h$ to zatem
$$\textcolor{ffffe6}{x_0=1}$$
Przykład 2.
Zerknijmy jeszcze raz na wykres funkcji $\textcolor{ffffe6}{f}$ określonej wzorem
$$\textcolor{ffffe6}{f(x)=x+2}$$
dla $x \in \mathbb{Z}$.
Miejsce zerowe wyliczymy też ze wzoru funkcji $f$. Szukamy $x$, takiego że $f(x)=0$, czyli $x+2 = 0$ . Miejsce zerowe to zatem $\textcolor{ffffe6}{x_0=−2}$ .
Monotoniczność funkcji
Funkcja jest monotoniczna, gdy jest rosnąca, malejąca albo stała.
Ale co to właściwie oznacza?
Funkcja rosnąca to taka, która zawsze dla większych argumentów przyjmuje większe wartości.
Funkcja malejąca to taka, która zawsze dla większych argumentów przyjmuje mniejsze wartości.
Funkcja stała dla wszystkich argumentów przyjmuje tę samą wartość.
Funkcja rosnąca
Funkcja malejąca
Funkcja stała
