Funkcja wymierna
To funkcja, której wzorem jest wyrażenie wymierne, czyli iloraz wielomianów. Przykładowe funkcje wymierne to $$f(x)=\dfrac{2}{x+1} \hspace{1cm} g(x)=-\dfrac{5}{x^2} \hspace{1cm} h(x) = \dfrac{x^2-3x+2}{-x-6}$$ Nas interesować będzie jednak przede wszystkim funkcja homograficzna.
Iloraz wielomianów pierwszego stopnia
To właśnie funkcja homograficzna, czyli funkcja, której wzorem jest iloraz wyrażeń liniowych. To szczególny rodzaj funkcji wymiernej.
Funkcja homograficzna jest postaci ogólnej
$$\textcolor{e9fda3}{f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}}$$
gdzie $ad-bc \ne 0$ oraz $c \ne 0$.
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.
Wykres funkcji homograficznej
$f(x)=\dfrac{1}{x}$
Postać kanoniczna
Czyli inna postać funkcji homograficznej.
Tu niemal od razu zobaczymy równania asymptot.
Funkcja homograficzna jest postaci kanonicznej
$$\textcolor{e9fda3}{f(x)=\dfrac{a}{x-p} + q}$$
gdzie $\textcolor{e9fda3}{(p,q)}$ jest wierzchołkiem hiperboli, czyli punktem przecięcia asymptot wykresu.
Asymptota pionowa ma równanie: $\textcolor{e9fda3}{x=p}$
Asymptota pozioma ma równanie: $\textcolor{e9fda3}{y=q}$
Hiperbola składa się z dwóch gałęzi.
O tym, gdzie się znajdują, decyduje znak współczynnika $\textcolor{e9fda3}{a}$ w postaci kanonicznej.
Najpierw zauważmy, że asymptoty wyznaczają cztery ćwiartki w układzie współrzędnym.
Jeśli $\textcolor{e9fda3}{a>0}$, to gałęzie znajdują się w $\text{I}$ i $\text{III}$ ćwiartce.
Jeśli $\textcolor{e9fda3}{a<0}$, to gałęzie znajdują się w $\text{II}$ i $\text{IV}$ ćwiartce.
Wykres funkcji homograficznej
$f(x)=\dfrac{2}{x-1}+1$
Asymptota pionowa o równaniu: $\textcolor{e9fda3}{x=1}$
Asymptota pozioma o równaniu: $\textcolor{e9fda3}{y=1}$
Wykres funkcji homograficznej
$f(x)=\dfrac{\text{-}3}{x+2}+4$
Asymptota pionowa o równaniu: $\textcolor{e9fda3}{x=\text{-}2}$
Asymptota pozioma o równaniu: $\textcolor{e9fda3}{y=4}$
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{6}{x}+2$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 0$. Oblicz wartość funkcji $f(2)$ .
Podstawimy za $\textcolor{#7FE817}{x}$ w wyrażeniu liczbę $\textcolor{#7FE817}{3}$ i wyliczymy wartość tego wyrażenia:
$$\dfrac{\textcolor{#7FE817}{x}^2-1}{4\textcolor{#7FE817}{x}-8}=\dfrac{\textcolor{#7FE817}{3}^2-1}{4 \cdot \textcolor{#7FE817}{3}-8}=\dfrac{9-1}{12-8}=\dfrac{8}{4}=2$$
