Funkcja kwadratowa
W funkcji kwadratowej znajdziesz zmienną $x$ w kwadracie, ale w wyższej
potędze już nie.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Ramiona paraboli są skierowane do góry, gdy współczynnik liczbowy $a$ stojący
przy $x^2$ jest dodatni, lub do dołu, gdy jest ujemny.
Jeśli szukasz wzoru na deltę i pierwiastki równania kwadratowego, zajrzyj tu.
Wprowadzenie do funkcji kwadratowej
Oto przykładowe funkcje kwadratowe:
$$\textcolor{ccffcc}{f(x)=2x^2} \hspace{1.5cm} \textcolor{b3ffff}{g(x)=-x^2 + 4x - 3} \hspace{1.5cm} \textcolor{cce6ff}{h(x)=3x^2 + 18x}$$
Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych, czyli $\mathbb{R}$.
$\textcolor{ffffe6}{a,b,c}$ to współczynniki liczbowe, przy czym $a \ne 0$
Gdy $x_1=x_2$, czyli gdy $\Delta = 0$, to postać iloczynowa wygląda tak: $$\textcolor{ffffe6}{f(x)=a(x-x_1)^2}$$
Wykresy funkcji kwadratowych
$\textcolor{ccffcc}{f(x)=2x^2}$
$\textcolor{b3ffff}{g(x)=-x^2 + 4x - 3}$
Wierzchołek paraboli
Współrzędne wierzchołka $\textcolor{ffffe6}{W=(p,q)}$ paraboli to $$\textcolor{ffffe6}{(p,q) = (-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a})}$$
Przykład 1.
Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ danej wzorem $f(x)=x^2-3x+2$ .
Mamy, że
$$p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-3}{2}=\dfrac{3}{2}$$
Pozostaje wyliczyć $q$, które jest wartością funkcji $f$ w punkcie $p$.
Zanim skorzystamy ze wzoru na $q$, zauważmy, że $q=f(p)$ .
$$q = f\left(\dfrac{3}{2}\right) = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2-3 \cdot \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2}+2 = -\dfrac{1}{4}$$
Współrzędne wierzchołka paraboli to zatem
$$(p,q)=(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{4})$$
Przykład 2.
Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej $f(x)=x^2+4x−3$ w przedziale $\langle0,3\rangle$ ?
Współczynnik stojący przy $x^2$ to $1$, więc jest dodatni. Ramiona paraboli skierowane są do góry.
Czy $p$ wierzchołka należy do przedziału $\langle0,3\rangle$ ?
$$p = -\dfrac{4}{2}=-\dfrac{1}{2} \notin \langle0,3\rangle$$
Wykres funkcji $f$ wygląda tak
Funkcja kwadratowa $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ wzorem $f(x)=ax^2+bx+c$ . Największa wartość funkcji $f$ jest równa $6$ oraz $f(-6)=f(0)=\dfrac{3}{2}$ .
Oblicz wartość współczynnika $a$.
Skoro $f(-6)=f(0)=\dfrac{3}{2}$ , to
$$f(-6)=a(-6)^2+b(-6)+c=36a-6b+c=\dfrac{3}{2}$$
oraz
$$f(0)=a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = c = \dfrac{3}{2}$$
Podstawimy za $c$ liczbę $\dfrac{3}{2}$ :
$$36a-6b+\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$$
$$36a-6b = 0$$
$$6a-b = 0$$
$$b = 6a$$
Skoro największa wartość funkcji $f$ jest równa $6$, to jest to wartość w wierzchołu paraboli, z ramionami skierowanymi w dół.
Wartość $q$ w wierzchołku wyraża się jako
$$q = -\dfrac{\Delta}{4a}$$
i jest równa $6$, więc
$$-\dfrac{b^2-4ac}{4a} = 6$$
Podstawimy za $b$ oraz $c$ :
$$(6a)^2-4a\cdot\dfrac{3}{2} = -24a$$
$$36a^2+18a = 0$$
$$18a(2a+1) = 0$$
Funkcja $f$ jest kwadratowa, więc $a \ne 0$.
Zatem
$$2a+1=0$$
$$a=-\dfrac{1}{2}$$
Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f(x)=ax^2+bx+c$ . Zbiorem rozwiązań nierówności $f(x)>0$ jest przedział $(0,12)$. Największa wartość funkcji $f$ jest równa $9$. Oblicz współczynniki $a$, $b$, i $c$ funkcji $f$.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Ponieważ największa wartość funkcji $f$ to $9$, więc ramiona paraboli skierowane są w dół (parabola z ramionami do góry nie ma największej wartości).
$f(x) = 9$ to druga współrzędna wierzchołka paraboli.
Pierwsza współrzędna to średnia z miejsc zerowych, czyli $x=\dfrac{0+12}{2}=6$.
Ponieważ $f(0)=f(12)=0$, więc
$$f(0)=a \cdot0 + b \cdot 0 + c=c=0$$
$$f(12)=a \cdot 12^2+b \cdot 12 = 0$$
$$144a+12b = 0$$
$$12a+b = 0$$
oraz $f(6)=9$, więc
$$f(6)=a \cdot 6^2+b \cdot 6 = 9$$
$$36a+6b = 9$$
$$12a+2b = 3$$
Rowiążemy układ równań, odejmując stronami:
$$\begin{cases} 12a+b = 0 \\ 12a+2b = 3 \end{cases}$$
$$12a + b - (12a+2b) = 0-3$$
$$-b = -3$$
$$b = 3$$
Zatem
$$12a + 3 = 0$$
$$a = -\dfrac{1}{4}$$
Odpowiedź: $a = -\dfrac{1}{4}$, $b=3$ i $c=0$.