Monotoniczność ciągu
Ciąg jest monotoniczny, jeśli jest rosnący, malejący albo stały.
Przykłady:
Ciąg rosnący to na przykład: $2, 4, 16, 32, 64, 128, 256...$.
Ciąg malejący: $15,10, 5, 0, -5, -10, -15...$
Ciąg stały: $8, 8, 8, 8, 8, 8, 8...$
Jak sprawdzić, czy ciąg jest monotoniczny?
Spójrzmy na poniższy ciąg - widać, że jest rosnący, nie? A skoro rosnący, to monotoniczny.
Wzór poniższego ciągu to
$$a_n=30n$$
dla każdego dodatniego $n$ naturalnego.
Wyrazy ciągu to ilości mosiężnych monet w kolejnych dniach.
Ciąg jest rosnący, bo każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.
$$a_2>a1, \quad \text{bo} \quad 60>30$$
$$a_3>a2, \quad \text{bo} \quad 90>60$$
i tak dalej...
Uogólniając, jeśli dla każdego naturalnego $n \geq 1$, zachodzi nierówność
$$a_{n+1}>a_n$$
czyli
$$a_{n+1}-a_n>0$$
to ciąg jest rosnący.
I to właśnie trzeba sprawdzić!
Gdy badamy, czy jakiś ciąg $(a_n)$ jest rosnący.
Jeśli nierówność
$$a_{n+1}-a_n>0$$
jest prawdziwa, ciąg jest rosnący.
Rzecz jasna, jeśli prawdziwa byłaby przeciwna równość, czyli $$a_{n+1} < a_n$$ $$a_{n+1}-a_n<0$$ to ciąg $(a_n)$ byłby malejący.
Ciąg może również być ciągiem stałym.
By sprawdzić, czy tak jest, wystarczy zerknąć na wzór ciągu i już będziecie wiedzieć - wzór to wówczas liczba rzeczywista.
Przykładowe wzory ciągów stałych to:
$$a_n=5$$
$$b_n=0$$
$$c_n=-21$$
Proste, nie?
Przykład 1.
Ciąg $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n=2n-8$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Czy ciąg ten jest rosnący?
By to sprawdzić, zbadamy, czy
$$\textcolor{lemonchiffon}{a_{n+1}}-\textcolor{honeydew}{a_n}>0$$
dla
$$\textcolor{honeydew}{a_n=2n-8} \qquad \text{oraz} \qquad \textcolor{lemonchiffon}{a_{n+1}=2(n+1)-8=2n-6}$$
Zatem
$$\textcolor{lemonchiffon}{a_{n+1}}-\textcolor{honeydew}{a_n}=\textcolor{lemonchiffon}{2n-6}-(\textcolor{honeydew}{2n-8})=$$
$$=2n-6+2n+8=2>0$$
Ciąg jest rosnący.
Ciąg $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n=n^2$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Czy ciąg ten jest monotoniczny?
By sprawdzić, czy ciąg jest monotoniczny (czyli czy jest ciągiem rosnącym, ciągiem malejącym lub ciągiem stałym), zbadamy znak wyrażenia $$a_{n+1}-a_n$$ dla $$a_n=n^2 \qquad \text{oraz} \qquad a_{n+1}=(n+1)^2$$ Zatem $$a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2=$$ $$=n^2+2n+1-n^2=2n+1$$ Wiemy, że $n \geq 1$ z założenia. Wobec tego $$n \geq 1$$ $$2n \geq 2$$ $$2n + 1 \geq 2+1$$ Ponieważ $$2n + 1 \geq 3 > 0$$ więc $$2n + 1 > 0$$ Ciąg jest rosnący, a więc jest monotoniczny.
Pokaż, że ciąg dany wzorem $b_n = \dfrac{3}{n}$, dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest malejący.
Wystarczy pokazać, że każdy kolejny wyraz ciągu jest mniejszy od poprzedniego, czyli że
$$ b_{n+1} < b_n $$
Ponieważ, wszystkie wyrazy ciągu $b_n$ są dodatnie, to możemy łatwo podzielić nierówność obustronnie przez $b_n$:
$$\frac{b_{n+1}}{b_n} < 1$$
To właśnie chcemy pokazać dla
$$b_n=\frac{3}{n} \qquad \text{oraz} \qquad b_{n+1}=\frac{3}{n+1}$$
Rozpatrzmy więc ułamek $\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$. Mamy, że
$$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{\dfrac{3}{n+1}}{\dfrac{3}{n}} = \dfrac{3}{n+1} \cdot \dfrac{n}{3} = \frac{n}{n+1}<1$$
co należało wykazać.
