Ciąg geometryczny
To też szczególny rodzaj ciągu i również się bardzo przydaje...
Dla przykładu taki ciąg geometryczny to $2, 4, 8, 16, 32, 64...$
Każdy kolejny wyraz jest dwa razy większy od poprzedniego.
Inny przykład to $5, -25, 125, -625, 3125...$ Jak sądzisz? Jak powstają kolejne wyrazy tego ciągu geometrycznego?
By otrzymać kolejny wyraz, trzeba poprzedni pomnożyć przez $5$.
$5$ to w tym przypadku iloraz ciągu geometrycznego.
Na przykład dla ciągu $2, 4, 8, 16, 32, 64...$ ilorazem jest $2$.
Iloraz ciągu geometrycznego oznaczamy literą $q$.
Moi drodzy, czyli dla dowolnego ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, prawdą jest, że
$$a_1 \cdot q = a_2$$
$$a_2 \cdot q = a_3$$
dla pewnego ilorazu $q$.
W ogólności ciąg jest geometryczny, jeśli istnieje taka liczba rzeczywiste $q$, że dla każdego naturalnego $n \geq 1$ zachodzi
$$a_n \cdot q = a_{n+1}$$
Podam Wam przy okazji wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
$$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$$
Przykład 1.
Niech $(a_n)$ będzie ciągiem geometrycznym określonym dla każdego naturalnego $n \geq 1$. W ciągu tym pierwszy wyraz $a_1=6$
oraz iloraz $q=2$. Znajdź $a_4$.
By z wyrazu $a_1$ otrzymać wyraz $a_4$, należy $a_1$ trzykrotnie przemnożyć przez iloraz $q$:
$$a_4=a_1q^3$$
$$a_4=6 \cdot 2^3=48$$
Bywa, że nie znamy ilorazu danego ciągu geometrycznego, a chcielibyśmy.
Wówczas pozostaje nam ten iloraz wyliczyć.
Przykład 2.
Ciąg $(a_n)$, dla każdego naturalnego $n \geq 1$, jest geometryczny oraz $a_2=12$ i $a_5=324$. Znajdź $a_1$ i iloraz tego ciągu.
$$a_2=a_1 \cdot q = 12 \quad \text{ oraz } \quad a_5=a_1 \cdot q^4=324 $$
Zatem
$$a_5 = a_1 \cdot q^4 = a_1 \cdot q \cdot q^3 = 12 \cdot q^3 = 324$$
Czyli
$$q^3=\dfrac{324}{12}=27$$
$$q=3$$
$$a_1=\dfrac{a_2}{q}=\dfrac{12}{3}=4$$
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla każdego naturalnego $n \geq 1$, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $6a_1-5a_2+a_3=0$. Oblicz iloraz $q$ tego ciągu należący do przedziału $\langle2\sqrt{2},3\sqrt{2}\rangle$.
Ponieważ
$$a_2 = a_1 \cdot q \qquad \text{ oraz } \qquad a_3 = a_1 \cdot q^2$$
więc
$$6a_1-5a_2+a_3=6a_1-5a_1q+a_1q^2=0$$
Wyciągając $a_1$ przed nawias, mamy
$$a_1(6-5q+q^2)=0$$
$$a_1=0 \quad \lor \quad 6-5q+q^2=0$$
$a_1$ jest dodatnie z założenia, więc różne od 0.
Pozostaje nam rozwiązać równanie kwadratowe
$$q^2-5q+6=0$$
$$\Delta = (-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6 = 25-24 = 1 > 0$$
$$q_1=\dfrac{5-1}{2}=2 \hspace{1.1cm} q_2=\dfrac{5+1}{2}=3$$
Ponieważ $\sqrt{2}$ to w przybliżeniu $1{,}41$, więc
$$2 < 2\sqrt{2} < 3 < 3\sqrt{2}$$
Ostatecznym rozwiązaniem jest więc
$$q=3$$
