Suma i własności ciągu geometrycznego
Wyrazy ciągu geometrycznego można łatwo sumować, jeśli tylko znamy pierwszy wyraz oraz iloraz tego ciągu.
Zaskoczenie?
Zaklęcia na sumę n początkowych wyrazów ciagu geometrycznego to:
$$ S_n = a_1 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q} \text{ , gdy } q \neq 1 \quad \text{ oraz } \quad S_n = n \cdot a_1 \text{ , gdy } q = 1 $$
Przykład 1.
Niech ciąg geometryczny $(a_n)$ określony będzie wzorem $a_n = 2^n$ dla każdego naturalnego $n \geq 1$. Znajdź $S_{8}$, czyli sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu.
Skoro $(a_n)$ jest geometryczny, to skorzystamy z faktu, że
$$a_1 \cdot q = a_2$$
dla $a_1=2$ i $a_2=4$.
Mamy więc
$$q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{4}{2}=2$$
Skorzystamy teraz ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciagu geometrycznego:
$$ S_n = a_1 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q} $$
dla $n=8$.
$$ S_8 = 2 \cdot \dfrac{1-2^8}{1-2} = 2 \cdot \dfrac{1-256}{-1}$$
$$ S_8 = -2 \cdot (-255) $$
$$ S_8 = 510$$
Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego
Spośród każdych trzech kolejnych wyrazów ciagu geometrycznego, kwadrat środkowego to iloczyn sąsiednich.
Uściślając:
Niech $(a_n)$ będzie ciągiem arytmetycznym.
Wówczas dla każdego naturalnego $n \geq 2$ zachodzi
$$ \hspace{5cm} a_{n}^2=a_{n-1} \cdot a_{n+1}$$
Przykład 2.
Liczby $54, 18, x$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znajdź $x$.
Skorzystamy z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
$$ 54x=18^2 $$
$$ x=\dfrac{324}{54}=6$$
Liczby $8,x,2$ to trzy kolejne wyrazy pewnego ciągu geometrycznego, którego wszystkie wyrazy są dodatnie. Znajdź $x$.
Skorzystamy z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
$$ x^2 = 8 \cdot 2 = 16$$
$$ x = 4 \quad \lor \quad x = -4$$
Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc ujemne $x$ odrzucamy.
Ostatecznie
$$x=4$$
Jeszcze kilka zadań, spróbujesz?
Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n=2016-3n$, dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.
Najpierw sprawdzimy, dla jakich $n$ wyrazy tego ciągu są dodatnie:
$$a_n=2016-3n>0$$
$$2016>3n$$
$$n<\dfrac{2016}{3}$$
$$n<672$$
Dodatnie wyrazy ciągu są dla $n \in \{1,2,3, ...,671\}$.
Skorzystamy ze wzoru na sumę $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n$$
dla $n=671$.
Wyliczymy $a_1$ oraz $a_{671}$:
$$a_1 = 2016 - 3 \cdot 1 = 2013 \hspace{2cm} a_{671}=2016-3 \cdot 671 =3$$
Wyliczymy szukaną sumę:
$$S_{671}=\dfrac{2013+3}{2} \cdot 671 = 1008 \cdot 671 = 676368$$
