Zadania z ciągów
W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdego naturalnego $n \geq 1$, dane są: wyraz $a_1=8$ i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu $S_3=33$. Oblicz różnicę $a_{16}-a_{13}$.
Zachodzi $$a_{16}-a_{13}=3r$$ Sumę $S_3$ zapiszemy $$S_3=a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)=3a_1+3r=33$$ Skoro $a_1=8$, to $$S_3=3 \cdot 8 + 3r = 33$$ $$24 + 3r = 33$$ $$3r = 33-24=9$$ Zatem $$a_{16}-a_{13}=9$$
Dany jest ciąg $a_n$ określony wzorem $a_n=\dfrac{5-3n}{7}$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Trójwyrazowy ciąg
$(a_4,x^2+2,a_{11})$, gdzie $x$ jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz $x$ oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.
Mamy, że $$a_4=\dfrac{5-3 \cdot 4}{7}=-1 \qquad \text{ oraz } \qquad a_{11}=\dfrac{5-3 \cdot 11}{7}=-4$$ Zatem $$(a_4,x^2+2,a_{11})=(-1,x^2+2,-4)$$ Skorzystamy z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego: $$(x^2+2)^2=(-1) \cdot (-4)=4$$ Pierwiastkując obustronnie, otrzymamy $$|x^2+2|= 2$$ Ponieważ $x^2+2 > 0$, więc mamy $$x^2+2= 2$$ $$x^2=0$$ $$x=0$$ Czyli $$(-1,x^2+2,-4)=(-1, 2, -4)$$ Wyliczymy iloraz ciągu $(-1, 2, -4)$: $$-1 \cdot q = 2$$ $$q = -1$$
Ciąg $(9,x,19)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(x,42,y,z)$ jest geometryczny. Oblicz $x,y$ oraz $z$.
Skorzystamy z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego dla ciągu $(9,x,19)$: $$x=\dfrac{9+19}{2}=14$$ Skoro ciąg $$(x,42,y,z)=(14,42,y,z)$$ jest geometryczny, to $$14q = 42$$ $$q = \dfrac{42}{14}=3$$ Stąd $$y= 42q = 42 \cdot 3 = 126$$ $$z= 126q = 126 \cdot 3 = 378$$
