Ciąg liczbowy
Słuchajcie mnie tera uważnie, zwłaszcza jeśli chcecie być bogaci.
Ciągi to funkcje po prostu, zrozumiano? Nie trzeba się ich bać.
Ba! To nawet takie prostsze funkcje, bo zawsze, ale to zawsze ich dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.
Kumacie już, nie?
Ciągi się przydają
Mają wiele zastosowań.
Szczególnie tu, w skarbcu.
Dzięki nim wiemy, ile złota zyskujemy lub tracimy w określonym czasie.
Ale od początku.
Przykładowy ciąg? Proszę:
$$2,4,6,8,10,12...$$
Te liczby między przecinkami to kolejne wyrazy ciągu.
Pierwszy wyraz to $2$, a drugi to $4$. Trzeci to $6$, a czwarty to $8$ i tak dalej...
Kumacie?
Nazwiemy ten ciąg jakąś literką... niech będzie $a$. Jakoś trzeba, nie?
Teraz pierwszy wyraz tego ciągu zapiszemy tak:
$$a_1 = 2$$
Drugi wyraz to:
$$a_2 = 4$$
Trzeci wyraz to:
$$a_3 = 6$$
Dobra, jasne już, nie?
Moi drodzy, widzicie jak powstają kolejne wyrazy tego ciągu?
Przez dodanie liczby $2$.
Uogólnimy trochę
Moi drodzy, tera podamy wzór ogólny ciągu. Ciąg to w końcu funkcja, nie? A funkcje mają wzory, no bo jakoś je trzeba określić - wzorem jest wygodnie.
$$a_n = 2n$$
Dla $n=1$ mamy:
$$a_1 = 2 \cdot 1 = 2$$
Dla $n=2$:
$$a_2 = 2 \cdot 2 = 4$$
Dla $n=3$:
$$a_3 = 2 \cdot 3 = 6$$
I tak dalej.
Dziedzina tego ciągu: $\N_+$
Tak jak każdego ciągu.
Przykład 1.
Niech ciąg $a_n = 2n-6$ dla każdego naturalnego $n \geq 1$. Oblicz $a_5$.
Należy znaleźć $a_5$, czyli piąty wyraz ciągu $a_n$.
Mamy wzór na $n$-ty wyraz ciągu:
$$a_n = 2n-6$$
Za $n$ podstawiamy $5$.
$$a_5=2 \cdot 5 - 6=4$$
Więcej przykładów?
Proszę bardzo, moi drodzy:
$$\hspace{3.5cm} a_n=2n \hspace{2cm} b_n=-n + 5 \hspace{2cm} c_n=3n^2+n$$
Rzecz jasna ciągi te określone są dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.
Jak widzicie, ciągi oznaczamy literkami a, b, c... i tak dalej...
Czasem też zapiszemy ciąg ($a_n$), ciąg ($b_n$)... Chodzi mi tera, że w nawiasach. To wtedy, jak mówimy o ciągu jako o jakimś bycie - tak bardziej ogólnie.
Ciąg $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n = 5n$.
Wszystkie wyrazy ciągu $(b_n)$ są dodatnie.
Ciąg $(c_n)$ jest malejący.
Jasna sprawa, myślę.
Przykład 2.
Niech ciąg $a_n=3n+6$ dla każdego naturalnego $n \geq 1$. Znajdź $n$, dla którego zachodzi $a_n=15$.
Skoro
$$a_n=3n+6 \quad \text{ oraz } \quad a_n=15$$
to pozostaje w pierwszym równaniu pod $a_n$ podstawić $15$.
$$15=3n+6$$
$$9=3n$$
$$n=3$$
