Ciąg arytmetyczny
To pewien szczególny rodzaj ciągu. Bardzo przydatny...
Dla przykładu taki ciąg arytmetyczny to $3, 6, 9, 12, 15, 18...$
Kolejne jego wyrazy różnią się o $3$.
Inny przykład to $5, 10, 15, 20, 25...$ O ile tu się różnią?
Zerkniemy tera do komnaty należącej do pewnego dzianego czarodzieja, który dorobił się na eliksirach miłosnych i wyskokowych.
Na początku, w pierwszym roku, miał ten czarodziej $2$ kg złota. W banku zobowiązał się on dokładać co roku $2$ kg złota.
Czyli w pierwszym roku w komnacie były $2$ kilogramy złota, potem $4, 6, 8, 10$ kilogramów i tak dalej...
$2, 4, 6, 8, 10...$ to właśnie jest ciąg arytmetyczny!
Ktoś nie kuma?
W tym przykładowym ciągu dwa kolejne wyrazy różnią się zawsze o 2.
Tera słuchać uważnie: ta liczba to... no nie zgadniecie... to różnica! Tak ją zwą.
My, krasnoludy, cenimy wygodę, więc różnicę ciągu arytmetycznego oznaczamy literką...
nie zgadniecie jaką... literką $r$, a jakże by inaczej? 🧡
Powtarzam, jak kto nie kuma jeszcze.
Dla ciągu arytmetycznego o wyrazach $2, 4, 6, 8, 10, 12...$ różnica $r$ wynosi $2$.
Moi drodzy, czyli każde kolejne dwa wyrazy ciągu arytmetycznego zawsze różnią się o stałą liczbę $r$.
Liczbę tę zwiemy różnicą ciągu arytmetycznego.
Przy tej okazji, podam Wam wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Dla danego ciągu wyznaczycie go, mając pierwszy wyraz $a_1$ i różnicę $r$
$$a_n=a_1+(n-1)r$$
Przykład 1.
Niech ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony będzie wzorem $a_n = 5n-3$ dla każdego naturalnego $n \geq 1$. Znajdź różnicę tego ciągu.
Skoro ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, to wystarczy wziąć np. $a_1$ oraz $a_2$ i obliczyć $a_2-a_1$, co da szukaną różnicę $r$.
$$a_1=5 \cdot 1-3=2 \hspace{1.5cm} a_2=5 \cdot 2-3=7$$
$$r=a_2-a_1$$
$$r=7-2=5$$
Po kilkunastu soczystych kłótniach i parogodzinnych dociekaniach, okazało się, że nowozatrudniony krasnolud sprzatający Míotin Kwaśnaręka - nim zaczął zamiatać i ścierać kurze w komnacie Czarnego - zaklęciem lewitacji przeniósł srebrne monety i stare księgi do innej komnaty, a potem zapomniał je przenieść z powrotem. Wszystkie $1240$ monet już wróciło na miejsce... ale czy tyle ich wcześniej rzeczywiście było? Nie wiemy, bo coś - może myszy? - zeżarło dokumentację komnaty Czarobartka Czarnego...
Wygląda jednak na to, że możemy sprawdzić, czy ilość monet się zgadza dzięki mocy i magii ciągów. Przed dziesięcioma laty, Czarny zobowiązał się w banku dokładać co roku określoną ilość srebrnych monet. Tak miał czynić przez dziesięć lat. Wiemy tylko, że w czwartym roku miał ich $400$, a w dziewiątym, czyli przed rokiem, uzbierał ich już $1120$. Ile powinien mieć teraz, czyli w dziesiątym, ostatnim roku oszczędzania?
Przykład 2.
Niech ciąg $(a_n)$ będzie arytmetyczny. Zachodzi $a_4=400$ i $a_9=1120$. Znajdź różnicę ciągu oraz $a_{10}$.
Skoro ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, to wiemy, że
$$a_4=a_1 + 3r \quad \text{oraz} \quad a_9=a_1 + 8r$$
Zatem
$$a_9-a_4 = a_1 + 8r - (a_1 + 3r) = 8r - 3r = 5r$$
Czyli przepisując, mamy, że
$$5r = a_9-a_4$$
$$5r = 1120-400=720$$
$$r = 144$$
Ponieważ $a_{10}=a_9+r$, więc
$$a_{10}=1120+144=1264$$
Czy w komnacie czarodzieja Czarobartka Czarnego są wszystkie srebrne monety, które odłożył?
