Suma i własności ciągu arytmetycznego
Wyrazy ciągu arytmetycznego można sumować, czyli do siebie dodać, jeden po drugim. Mamy na to tu w skarbcu nawet specjalne zaklęcia.
Sumę $\textbf{n}$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymasz zaklęciami:
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \qquad \text{lub} \qquad S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2} \cdot n$$
Przykład 1.
Niech ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony będzie wzorem $a_n = 3n+1$ dla każdego naturalnego $n \geq 1$. Znajdź $S_{10}$, czyli sumę dziesięciu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Skorzystamy ze wzoru
$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2} \cdot 10 = 5(a_1+a_{10})$$
Wyliczamy $a_1$ oraz $a_{10}$.
$$ a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4 \hspace{0.9cm} a_{10} = 3 \cdot 10 + 1 = 31 $$
Zatem
$$S_{10}= 5(4+31) = 175$$
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego
Spośród każdych trzech kolejnych wyrazów ciagu arytmetycznego, środkowy jest średnią arytmetyczną z sąsiednich.
Uściślając:
Niech $(a_n)$ będzie ciągiem arytmetycznym.
Wówczas dla każdego naturalnego $n \geq 2$ zachodzi
$$ \hspace{5cm} a_{n}=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$
Przykład 2.
Liczby $10, x, 4$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Znajdź $x$.
Skorzystamy z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.
$$ \dfrac{10 + 4}{2} = x$$
$$ x=7 $$
Ciąg $(3x^2+5x,x^2,20-x^2)$ jest arytmetyczny.
Oblicz $x$. Zapisz obliczenia.
Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną z sąsiednich: $$x^2 = \dfrac{3x^2+5x + 20-x^2}{2}$$ Czyli $$ 2x^2 = 3x^2+5x + 20-x^2 $$ Po uproszczeniu mamy $$ 5x + 20 = 0 $$ $$ 5x = -20 $$ $$ x = \dfrac{-20}{5} = -4 $$
Skąd taka własność?
Mówię o tym, moi drodzy: $$ \hspace{6cm} a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$ Bierze sie to stąd, że skoro $$ \hspace{6cm} \textcolor{aqua}{a_{n-1} = a_n-r} \qquad \text{oraz} \qquad \textcolor{orange}{a_{n+1} = a_n + r}$$ to $$ \hspace{6cm} \dfrac{\textcolor{aqua}{a_{n-1}} + \textcolor{orange}{a_{n+1}}}{2} = \dfrac{\textcolor{aqua}{a_n-r} + \textcolor{orange}{a_n+r}}{2} = \dfrac{2a_n}{2} = a_n$$
Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n=2016-3n$, dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.
Najpierw sprawdzimy, dla jakich $n$ wyrazy tego ciągu są dodatnie:
$$a_n=2016-3n>0$$
$$2016>3n$$
$$n<\dfrac{2016}{3}$$
$$n<672$$
Dodatnie wyrazy ciągu są dla $n \in \{1,2,3, ...,671\}$.
Skorzystamy ze wzoru na sumę $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n$$
dla $n=671$.
Wyliczymy $a_1$ oraz $a_{671}$:
$$a_1 = 2016 - 3 \cdot 1 = 2013 \hspace{2cm} a_{671}=2016-3 \cdot 671 =3$$
Wyliczymy szukaną sumę:
$$S_{671}=\dfrac{2013+3}{2} \cdot 671 = 1008 \cdot 671 = 676368$$
