Kombinatoryka

Pokażę Wam, jak zliczać możliwości. Odpowiemy na pytanie: Na ile różnych sposobów możemy ustawić $\textcolor{#ffffe6}{3}$ różne eliksiry na półce?

Takich możliwości jest $\textcolor{#ffffe6}{6}$. Takie zliczanie nazywamy permutacją.

Istnieje $\textcolor{#ccffee}{n!}$ permutacji zbioru $\textcolor{#ccffee}{n}$-elementowego. Mówiąc inaczej:

$\textcolor{#ccffee}{n}$ różnych liczb, rzeczy czy osób możemy ustawić na $\textcolor{#ccffee}{n!}$ różnych sposobów.

$\textcolor{#ffffe6}{3}$ różne eliksiry ustawimy więc na $\textcolor{#ffffe6}{3!}$ różnych sposobów, czyli na $$\textcolor{#ffffe6}{3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6}$$ różnych sposobów.

Gdyby eliksirów było $\textcolor{#ffffe6}{5}$, to ustawilibyśmy je na $\textcolor{#ffffe6}{5!}$ różnych sposobów, czyli na $$\textcolor{#ffffe6}{5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120}$$ różnych sposobów.

Tu również poszukiwać będziemy ilości różnych możliwych ustawień. Chodzi nam jednak o krótsze ciągi. Pokażę Wam, jak zliczać takie możliwości. Odpowiemy na pytanie: Na ile różnych sposobów możemy ustawić $\textcolor{#ffffe6}{2}$ różne eliksiry ze zbioru $\textcolor{#ffffe6}{3}$?

Takich możliwości jest $\textcolor{#ffffe6}{6}$. Takie zliczanie nazywamy właśnie wariacją bez powtórzeń.

Istnieje $\dfrac{\textcolor{#ccffee}{n}!}{(\textcolor{#ccffee}{n}-\textcolor{#ddccff}{k})!}$ wariancji $k$-elementowych bez powtórzeń ze zbioru
$\textcolor{#ccffee}{n}$-elementowego. Mówiąc inaczej:

Ze zbioru różnych liczb, rzeczy czy osób w liczbie $n$ możemy wybrać $\textcolor{#ddccff}{k}$ i ustawić je na $\dfrac{\textcolor{#ccffee}{n}!}{(\textcolor{#ccffee}{n}-\textcolor{#ddccff}{k})!}$ różnych sposobów.

$\textcolor{#ffffe6}{3}$ różne eliksiry ustawimy więc na $\textcolor{#ffffe6}{{\dfrac{3!}{1!}= 3 \cdot 2 = 6}}$ różnych sposobów.

Tu również poszukiwać będziemy ilości różnych możliwych ustawień, ale możemy brać jeden element z pierwotnego zbioru więcej niż raz. Pokażę Wam, jak zliczać takie możliwości. Odpowiemy na pytanie: Na ile różnych sposobów możemy ustawić z powtórzeniami $\textcolor{#ffffe6}{2}$ różne eliksiry ze zbioru $\textcolor{#ffffe6}{3}$?

Takich możliwości jest $\textcolor{#ffffe6}{9}$. Takie zliczanie nazywamy właśnie wariacją z powtórzeniami.

Istnieje $\textcolor{#ccffee}{n}^{\textcolor{#ddccff}{k}}$ wariacji $\textcolor{#ddccff}{k}$-elementowych z powtórzeniami ze zbioru $\textcolor{#ccffee}{\textcolor{#ccffee}{n}}$-elementowego. Mówiąc inaczej:

Ze zbioru różnych liczb, rzeczy czy osób w liczbie $\textcolor{#ccffee}{n}$ możemy wybrać z powtórzeniami $\textcolor{#ddccff}{k}$ i ustawić je na $\textcolor{#ccffee}{n}^{\textcolor{#ddccff}{k}}$ różnych sposobów.

Spośród $3$ różnych eliksirów $\textcolor{#ffffe6}{2}$ ustawimy więc z powtórzeniami na $\textcolor{#ffffe6}{3^2=9}$ różnych sposobów.

Zajmiemy się tylko kombinacją bez powtórzeń. Tu będziemy poszukiwać różnych podzbiorów. Kolejność ustawienia nie będzie mieć więc znaczenia. Odpowiemy na pytanie: Ile jest różnych podzbiorów $\textcolor{#ffffe6}{2}$ różnych eliksirów ze zbioru $\textcolor{#ffffe6}{3}$?

Takich możliwości jest $\textcolor{#ffffe6}{3}$. Takie zliczanie nazywamy właśnie kombinacją.

Istnieje $\large{{\textcolor{#ccffee}{n} \choose \textcolor{#ddccff}{k}}}$ kombinacji $\textcolor{#ddccff}{k}$-elementowych bez powtórzeń ze zbioru
$\textcolor{#ccffee}{n}$-elementowego. Mówiąc inaczej:

Ze zbioru różnych liczb, rzeczy czy osób w liczbie $\textcolor{#ccffee}{n}$ możemy wybrać bez powtórzeń podzbiory liczności $\textcolor{#ddccff}{k}$ na $${\textcolor{#ccffee}{n} \choose \textcolor{#ddccff}{k}}=\dfrac{\textcolor{#ccffee}{n}!}{\textcolor{#ddccff}{k}!(\textcolor{#ccffee}{n}-\textcolor{#ddccff}{\textcolor{#ddccff}{k}})!}$$ różnych sposobów.

$\textcolor{#ffffe6}{2}$-elementowych kombinacji ze zbioru $\textcolor{#ffffe6}{3}$-elementowego jest $\large{\textcolor{#ffffe6}{{3 \choose 2}=3}}.$