Kombinacja

Wyobraź sobie, że jesteśmy w magicznym kasynie, gdzie mamy zestaw kart z numerami od $\textcolor{#f2ffe5}{1}$ do $\textcolor{#f2ffe5}{10}$.
Wybieramy kilka kart. Kolejność, w jakiej je wybierzemy, nie ma znaczenia.

Jeśli mamy na przykład $\textcolor{#f2ffe5}{3}$ różne karty do wyboru spośród $\textcolor{#f2ffe5}{10}$, to ilość możliwych kombinacji $\textcolor{#f2ffe5}{3}$ kart można obliczyć za pomocą zaklęcia $${\textcolor{#ccffee}{n} \choose \textcolor{#ddccff}{k}}$$ gdzie $\textcolor{#ccffee}{n}$ oznacza liczbę dostępnych kart, a $\textcolor{#ddccff}{k}$ oznacza liczbę kart, które chcemy wybrać.
Za tym zaklęciem kryje się ułamek: $${\textcolor{#ccffee}{n} \choose \textcolor{#ddccff}{k}}=\dfrac{\textcolor{#ccffee}{n}!}{\textcolor{#ddccff}{k}! \cdot (\textcolor{#ccffee}{n}-\textcolor{#ddccff}{k})!}$$ Zaklęcie to zwane jest symbolem Newtona.
Dzięki niemu obliczymy możliwe kombinacje: $$\textcolor{#f2ffe5}{{10 \choose 3}=\dfrac{10!}{3!\cdot7!}=\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}}{3!\cdot\cancel{7!}}=\dfrac{720}{6}=120}$$