Silnia
W kapeluszu mam trzy gołębie. Na ile sposobów mogę je ustawić w rzędzie?
Znasz już silnię?
Silnia oznaczana jest symbolem: $$\textcolor{#ffffe6}{n!}$$
Silnia liczby $\textcolor{#ffffe6}{n}$ jest równa iloczynowi wszystkich liczb naturalnych od $\textcolor{#ffffe6}{1}$ do $\textcolor{#ffffe6}{n}$. Mamy więc, że
$$\textcolor{#ffffe6}{n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}$$
Ponadto zakładamy, że $\textcolor{#ffffe6}{0!=1}$.
Przykład 1.
Oblicz $5!$ .
$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$
A tu ważna własność silni:
Dla każdego naturalnego $n$ zachodzi $$(n+1)!=(n+1) \cdot n!$$
Przykład 2.
Oblicz $\dfrac{8!}{7!}$ .
$$\dfrac{8!}{\textcolor{#B0E0E6}{7!}} = \dfrac{8 \cdot \textcolor{#B0E0E6}{7!}}{\textcolor{#B0E0E6}{7!}}=8$$
A tu jeszcze kilka bardziej zaawansowanych przykładów i zadań z silni:
Przykład 3.
Oblicz $10!-8!$ .
$$10!-\textcolor{#AFEEEE}{8!}=10 \cdot 9 \cdot \textcolor{#AFEEEE}{8!} - \textcolor{#AFEEEE}{8!} = \textcolor{#AFEEEE}{8!}(10 \cdot 9 -1)=89 \cdot 8!$$
Oblicz $9!-7!$ .
$$9!-\textcolor{#20655A}{7!}=9 \cdot 8 \cdot \textcolor{#20655A}{7!} - \textcolor{#20655A}{7!} = \textcolor{#20655A}{7!}(9 \cdot 8 - 1) = 71 \cdot \textcolor{#20655A}{7!}$$
Przykład 4.
Rozwiąż równanie $$\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=3n-1.$$
Określimy dziedzinę równania.
Ponieważ silnia zdefiniowana jest tylko dla liczb naturalnych, w tym zera, więc $n-1 \geq 0$, czyli $n \geq 1$.
Wyznaczamy dziedzinę równania: $$\text{D} = \mathbb{N}_+$$
Rozwiązujemy równanie:
$$\dfrac{(n+1)!}{\textcolor{#CCF0D7}{(n-1)!}}=3n-1.$$
$$\dfrac{(n+1) \cdot n \cdot \textcolor{#CCF0D7}{(n-1)!}}{\textcolor{#CCF0D7}{(n-1)!}}=3n-1.$$
$$\dfrac{(n+1)\cdot n \cdot \textcolor{#CCF0D7}{\cancel{(n-1)!}}}{\textcolor{#CCF0D7}{\cancel{(n-1)!}}}=3n-1.$$
$$(n+1)n=3n-1.$$
$$n^2+n-3n+1=0.$$
$$n^2-2n+1=0.$$
Zauważamy wzór skróconego mnożenia.
$$(n-1)^2=0$$
$$n-1=0$$
$$n=1 \in \text{D}$$
Rozwiązanie to $n=1$.
Rozwiąż równanie $$\dfrac{(n+1)!}{n!}=5.$$
Dziedzina równania to $\text{D} = \mathbb{N}$. $$\dfrac{(n+1)!}{\textcolor{#008080}{n!}}=5.$$ $$\dfrac{(n+1) \cdot \textcolor{#008080}{n!}}{\textcolor{#008080}{n!}}=5.$$ $$\dfrac{(n+1) \cdot \textcolor{#008080}{\cancel{n!}}}{\textcolor{#008080}{\cancel{n!}}}=5.$$ $$n+1=5$$ $$n=4 \in \text{D}$$ Rozwiązaniem jest $n=4$.
