Wariacja
W kapeluszu mam $4$ gołębie. Na ile sposobów mogę ustawić $3$ z nich w rzędzie?
Witam na zajęciach z wariacji.
Na początek wariacja bez powtórzeń
Wyobraź sobie, że jesteś wielkim magikiem, który posiada kolekcję $\textcolor{#fff5cc}{5}$ magicznych amuletów. Każdy amulet jest inny i ma swoje unikalne moce. Jednak aby ujawnić ich potencjał, musisz wybrać dokładnie $\textcolor{#fff5cc}{3}$ w odpowiedniej kolejności. Różna kolejność $\textcolor{#fff5cc}{3}$ amuletów nada im inne działanie.
Nie można wybrać jednego amuletu więcej niż raz w danej sekwencji.
To układanie magicznych symboli w odpowiedniej kolejności, aby wyzwolić ich potencjał. Jednocześnie układasz tylko wybrane $\textcolor{#fff5cc}{3}$ amulety z $\textcolor{#fff5cc}{5}$ dostępnych.
Ile różnych $\textcolor{#fff5cc}{3}$-elementowych ciągów amuletów spośród $\textcolor{#fff5cc}{5}$ możesz stworzyć?
Odpowiedź:
$$\large{\textcolor{fff5cc}{\dfrac{5!}{3!} = \dfrac{5\cdot4\cdot\cancel{3!}}{\cancel{3!}}=5 \cdot 4 \cdot 3 = 60}}$$
różnych ciągów amuletów.
Ilość $\textcolor{#ddccff}{k}$-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru liczności $\textcolor{#ccffee}{n}$ wyraża się zaklęciem: $$\dfrac{\textcolor{#ccffee}{n}!}{\textcolor{#ddccff}{(\textcolor{#ccffee}{n}-\textcolor{#ddccff}{k})}!}$$
A teraz wariacja z powtórzeniami
Wyobraź sobie, że jesteś wielkim magikiem, który posiada kolekcję $\textcolor{#fff5cc}{6}$ magicznych przypraw. Każda jest inna i ma swoje unikalne moce. Jednak aby ujawnić ich potencjał, musisz wybrać dokładnie $\textcolor{#f3ffe6}{3}$ w odpowiedniej kolejności. Różna kolejność $\textcolor{#f3ffe6}{3}$ przypraw nada im inne działanie.
Wariacja z powtórzeniami jest zaklęciem, które pozwala powtarzać wybór danej przyprawy.
Ile różnych $\textcolor{#f3ffe6}{3}$-elementowych sekwencji przypraw spośród $\textcolor{#fff5cc}{6}$ możesz stworzyć, korzystając z wariacji bez powtórzeń?
Odpowiedź:
$$\large{\textcolor{#fff5cc}{6}}^{\normalsize{\textcolor{#f3ffe6}{3}}}\textcolor{#fff5cc}{=216}$$
różnych sekwencji przypraw.
To naprawdę dużo możliwości...
Ilość $\textcolor{#ddccff}{k}$-elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru liczności $\textcolor{#ccffee}{n}$ wyraża się zaklęciem: $$\large{\textcolor{#ccffee}{n}^{\textcolor{#ddccff}{k}}}$$
