Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych
Czy na pewno umiesz już wielomiany?
Jeśli nie, to wróć do Szkoły Wielomianów.
Zobaczymy, jak upraszczać wyrażenia wymierne.
Na przykład:
Uprość wyrażenie wymierne:
$$\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{5}{15x}}$$
Dziedzina tego wyrażenia to $D=\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Możemy skrócić licznik i mianownik przez $5$.
$$\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{5}{15x}=\dfrac{1}{3x}}$$
Inny przykład:
Uprość wyrażenie wymierne:
$$\textcolor{#ffffe6}{{\dfrac{(x-5)(x+1)}{(x+3)(x+1)}}}$$
Dziedzina tego wyrażenia to $D=\mathbb{R} \setminus \{-3.-1\}$.
Możemy skrócić licznik i mianownik przez $(x+1)$.
$$\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{(x-5)\cancel{(x+1)}}{(x+3)\cancel{(x+1)}}=\dfrac{x-5}{x+3}}$$
Przykład 1.
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{x+2}{x+3} \cdot \dfrac{x^2-9}{x^2-4}$ dla $x=10$.
Najpierw uprościmy wyrażenie.
$$\dfrac{x+2}{x+3} \cdot \dfrac{x^2-9}{x^2-4} = \dfrac{x+2}{x+3} \cdot \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$$
Skrócimy licznik i mianownik przez $(x+2)(x+3)$.
$$\dfrac{\cancel{x+2}}{\cancel{x+3}} \cdot \dfrac{(x-3)\cancel{(x+3})}{(x-2)\cancel{(x+2})} = \dfrac{x-3}{x-2}$$
Wartość tego wyrażenia dla $x=10$ to
$$\dfrac{10-3}{10-2}=\dfrac{7}{8}$$
Rozszerzanie wyrażeń wymiernych
Na przykład:
Chcę rozszerzyć wyrażenie $\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{3x}{x-2}}$ tak, by w mianowniku mieć $\textcolor{afeee9}{(x-2)^2}$.
Mnożę wyrażenie przez „inteligentną jedynkę":
$\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{3x}{x-2}} \cdot 1 = \textcolor{#ffffe6}{\dfrac{3x}{x-2}} \cdot \dfrac{\Box}{\Box} = \dfrac{3x \cdot \Box}{\textcolor{afeee9}{(x-2)^2}}$
Skoro $(x-2) \cdot \Box = (x-2)^2$, to $\Box = x-2$.
Rozszerzam więc pierwotne wyrażenie tak:
$\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{3x}{x-2}} = \textcolor{#ffffe6}{\dfrac{3x}{x-2}} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} = \dfrac{3x(x-2)}{\textcolor{afeee9}{(x-2)^2}}$.
Inny przykład:
Chcę rozszerzyć wyrażenie $\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{3x}{x-2}}$ tak, by w mianowniku mieć $\textcolor{afeee9}{x(x-2)(x-3)}$.
Mnożę wyrażenie przez „inteligentną jedynkę":
$\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{3x}{x-2}} \cdot 1 = \textcolor{#ffffe6}{\dfrac{3x}{x-2}} \cdot \dfrac{\Box}{\Box} = \dfrac{3x \cdot \Box}{\textcolor{afeee9}{x(x-2)(x-3)}}$
Skoro $(x-2) \cdot \Box = x(x-2)(x-3)$, to $\Box = x(x-3)$.
Rozszerzam więc pierwotne wyrażenie tak:
$\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{3x}{x-2}} = \textcolor{#ffffe6}{\dfrac{3x}{x-2}} \cdot \dfrac{x(x-3)}{x(x-3)} = \dfrac{3x^2(x-3)}{\textcolor{afeee9}{x(x-2)(x-3)}}$.
