Równania wymierne
Czy na pewno umiesz już wielomiany?
Jeśli nie, to wróć do Szkoły Wielomianów.
A teraz weźmy dwa przykładowe wielomiany: $x^2-4$ oraz $x+2$
Przykład:
$$\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{x^2-4}{x+2}=0}$$
Rozwiązanie:
Dziedzina równania to $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
Dlaczego $-2$ nie należy do dziedziny?
By nie dzielić przez $0$.
Upraszczamy lewą stronę równania:
$$\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{x^2-4}{x+2}} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$$
$$x-2 = 0$$
$$x=2 \in D$$
Inny przykład równania wymiernego:
$$\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{(x-2)(x+5)}{x-3}=0}$$
Rozwiązanie:
Dziedzina równania to $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.
Dlaczego $3$ nie należy do dziedziny?
By nie dzielić przez $0$.
Mamy, że
$$\dfrac{(x-2)(x+5)}{x-3}=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-2)(x+5)=0$$
$$x-2 = 0 \quad \vee \quad x+5 = 0$$
$$x = 2 \quad \vee \quad x = -5$$
$2$ oraz $-5$ należą do dziedziny.
$$x \in \{-5,2\}$$
Rozwiązywanie równań wymiernych krok po kroku
1. Kluczowe jest wyznaczenie dziedziny równania wymiernego.
Trzeba z dziedziny wyrzucić miejsca zerowe mianownika.
Czyli wyrzucić liczby, które zerują mianownik - by nie dzielić przez $0$.
2. Uprościć wyrażenie wymierne, jeśli się da.
3. Przyrównanie licznika do $0$ i rozwiązanie równania wielomianowego.
4. Spojrzeć na dziedzinę, by ewentualnie wykluczyć te rozwiązania, które do niej nie należą.
5. Ostatni krok to zapisanie rozwiązania po uwzględnieniu dziedziny.
Przykład 1.
Wyznacz ilość rozwiązań równania $\textcolor{#ffffe6}{\dfrac{(x^2-4x)(x^2+4)}{x^2-16}=0}$ w zbiorze liczb rzeczywistych.
Dziedzina równania to $D = \mathbb{R} \setminus \{-4,4\}$.
Przyrównujemy licznik do $0$ i rozwiązujemy równanie.
$$(x^2-4x)(x^2+4)=0$$
$$x^2-4x=0 \quad \vee \quad x^2+4=0$$
$$x(x-4)=0 \quad \vee \quad x^2=-4$$
$$x=0 \vee x=4 \quad \vee \quad x \in \varnothing$$
Rozwiązaniami są liczby $0$ oraz $4$, ale tylko $0$ należy do dziedziny równania.
Zatem równanie ma jedno rozwiązanie.