Układy równań liniowych
Przydadzą nam się liczby, zmienne i kilka symboli działań.
Klamerki oczywiście też!
No bo chyba umiecie już rozwiązywać równania liniowe?
Wprowadzenie do układów równań
Oto przykładowe układy równań: $$\begin{cases} x + 3y = 5 \\ x - y = 3\end{cases}$$ $$\begin{cases} 3x - y = 0 \\ 6x - 2y = 2\end{cases}$$ Pokażemy, jak je rozwiązać.
- oznaczone: mają jedno rozwiązanie
- nieoznaczone: mają nieskończenie wiele rozwiązań
- sprzeczne: nie mają rozwiązań
Metoda podstawiania
Przykład 1.
Rozwiąż układ równań $\begin{cases} x + 3y = 5 \\ x - y = 3\end{cases}$ .
Skorzystamy z metody podstawiania, czyli wyznaczymy zmienną z jednego równania i podstawimy do drugiego.
W ten sposób otrzymamy równanie z jedną zmienną, które rozwiążemy.
Z drugiego równania wyznaczymy $x$.
$$x - y = 3 \hspace{1.2cm}$$
$$x = \textcolor{ffffe6}{3 - y}$$
Podstawimy teraz $\textcolor{ffffe6}{3-y}$ za $x$ w pierwszym równaniu.
$$\textcolor{ffffe6}{3 - y} + 3y = 5 \hspace{2.3cm}$$
$$3 + 2y = 5 \quad /-3 \hspace{.5cm}$$
$$2y = 2 \quad /:2$$
$$y = 1 \hspace{.8cm}$$
Pozostaje wyliczyć $x$.
$$x - 1 = 3 \quad /+1 \hspace{0.9cm}$$
$$x = 4 \hspace{1.4cm}$$
Odpowiedź:
$$\begin{cases} x = 4 \\ y = 1\end{cases}$$
Układ równań, który rozwiązaliśmy, okazał się oznaczony. Miał jedno rozwiązanie w postaci pary liczb.
W pewnej szkole magii pracuje tuzin profesorów - elfów i czarodziejów. Stosunek liczby elfów do liczby czarodziejów wynosi $3 : 1$. Ile elfów i ile czarodziejów pracuje w tej szkole?
Niech
$x$ - liczba elfów
$y$ - liczba czarodziejów
$$\begin{cases} x+y=12 \\ x : y = 3 : 1\end{cases}$$
Z drugiego równania wyznaczymy $x$.
$$\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{1} \quad /\cdot y$$
$$x = \textcolor{3a6868}{3y}$$
Podstawimy za $x$ w pierwszym równaniu $\textcolor{3a6868}{3y}$.
$$\textcolor{3a6868}{3y}+y=12$$
$$4y=12 \quad /:4$$
$$y=3$$
$$x=3 \cdot 3 = 9$$
Odpowiedź: W szkole pracuje $9$ elfów i $3$ czarodziejów.
Metoda przeciwnych współczynników
Przykład 2.
Rozwiąż układ równań $\begin{cases} 3x - y = 0 \\ 6x - 2y = 2\end{cases}$ .
Skorzystamy z metody przeciwnych współczynników, czyli przekształcimy jedno równanie tak, by otrzymać przeciwne współczynniki liczbowe przy zmiennej. Dodamy stronami oba równania, co wyruguje tę zmienną z nowego równania. Pozostanie je rozwiązać.
$$\begin{cases} 3x - y = 0 /\cdot (-2) \\ 6x - 2y = 2\end{cases}$$
$$\begin{cases} -6x + 2y = 0 \\ 6x - 2y = 2\end{cases}$$
Dodamy równania stronami. Lewą stronę pierwszego równania do lewej strony drugiego równania, a prawą prawej.
$$-6x + 2y + 6x - 2y = 0 + 2$$
Okazuje się, że wyrugowaliśmy nie tylko $x$, ale także $y$, otrzymując:
$$0 = 2$$
$$\text{\small{Sprzeczność}}$$
Układ równań nie ma więc rozwiązań.
Układ równań, który rozwiązaliśmy, okazał się sprzeczny, czyli taki, który nie ma rozwiązań. Mówiąc inaczej: nie ma takiej pary liczb, która by go spełniała.
Przykład 3.
Rozwiąż układ równań $\begin{cases} x + 2y = -5 \\ -2x - 4y = 10\end{cases}$ .
Skorzystamy z metody podstawiania.
Z pierwszego równania wyznaczymy $x$.
$$x + 2y = -5 \quad /-2y$$
$$x = \textcolor{ffffe6}{-5-2y}$$
Podstawimy teraz $\textcolor{ffffe6}{-5-2y}$ za $x$ w drugim równaniu.
$$-2(\textcolor{ffffe6}{-5-2y}) - 4y = 10$$
$$10 + 4y - 4y = 10$$
$$10 = 10$$
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie zawsze prawdziwe - niezależnie od wartości zmiennych.
Jest nieskończenie wiele rozwiązań, choć są one określonej postaci.
Ponieważ $y=\dfrac{-5-x}{2}$ z pierwszego równania, więc rozwiązania te są postaci $(x,y)=(x,\dfrac{-5-x}{2})$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
Układ równań, który rozwiązaliśmy, okazał się nieoznaczony lub inaczej tożsamościowy, czyli taki, który ma nieskończenie wiele rozwiązań.
