Nierówności kwadratowe
Przydadzą nam się liczby, zmienne i kilka symboli działań.
Znaki nierówności też!
No bo chyba umiecie już równości kwadratowe?
Rozwiązania nierówności kwadratowych odczytujemy z wykresu
Przykłady nierówności kwadratowych: $$\textcolor{#ccffe6}{x^2 - 1 \ge 0} \hspace{2cm} \textcolor{#ffffe6}{x^2-3x+2 > 0} \hspace{2cm} \textcolor{#f2ffe6}{(x-3)^2 < 7}$$
Przykład 1.
Rozwiąż nierówność $x^2-3x+2>0$.
Rozwiążemy najpierw równość $x^2-3x+2=0$.
$$\Delta = (-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 2 = 9-8=1$$
$$x_1 = \dfrac{3-\sqrt{1}}{2} = 1$$
$$x_2 = \dfrac{3+\sqrt{1}}{2} = 2$$
Narysujemy wykres paraboli o równaniu $y = x^2-3x+2$.
$$ x \in (-\infty,1) \cup (2,+\infty)$$
Rozwiąż $8x^2 - 72x \le 0$.
Najpierw rozwiążemy rowność $8x^2 - 72x = 0$
Przekształcimy lewą stronę do postaci iloczynowej.
$$8x^2 - 72x = x(8x-72) = x \cdot 8(x-7) = 8x(x-7)$$
Mamy, że
$$8x(x-7)=0$$
$$x = 0 \quad \vee \quad x = 7$$
Narysujemy parabolę $y = 8x^2 - 72x$.
Odczytujemy z wykresu, dla jakich $x$ wartości paraboli są niedodatnie. $$ x \in \langle0, 9\rangle$$
