Podzielność
Podzielność pokazujemy przez mnożenie.
Niech $n$ będzie dowolną liczbą całkowitą.
$4n+4$ jest podzielne przez $4$, bo
$$4n+4=4(n+1).$$
Już myślisz o cechach podzielności liczb?
Pewnie, to dla liczb. Obok te cechy.
Ale co jeśli mamy wyrażenie algebraiczne i chcemy coś o powiedzieć o jego podzielności?
Jak pokazać na przykład, że $\textcolor{#ffffe6}{6n+3}$ jest podzielne przez $\textcolor{#ffffe6}{3}$ dla dowolnego $\textcolor{#ffffe6}{n}$ całkowitego?
Jeśli słuchaliście mnie na początku, to juz wiecie jak - przez mnożenie.
$$\textcolor{#ffffe6}{6n+3=3(2n+1)}$$
gdzie $\textcolor{#ffffe6}{2n+1}$ jest liczbą całkowitą - a to dlatego, że $\textcolor{#ffffe6}{n}$ nią jest.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $3n^3+18n^2+15$ jest podzielna przez $6$.
Skorzystamy z faktu, że liczba podzielna przez $6$ to liczba podzielna przez $2$ i przez $3$, ponieważ $6=2 \cdot 3$.
Mamy, że
$$3n^3+18n^2+15=3(\textcolor{004D40}{n^3+6n^2+5})$$
Pozostaje pokazać, że $$\textcolor{004D40}{n^3+6n^2+5}$$ jest podzielne przez $2$, czyli jest parzyste.
$1.$ Jeśli $n$ jest parzyste, to
$$\textcolor{004D40}{n^3+6n^2+5}$$
jest sumą trzech liczb parzystych, a więc jest parzyste.
$2.$ Jeśli $n$ jest nieparzyste, to $n^3$ też jest nieparzyste. Wobec tego
$$\textcolor{004D40}{n^3+6n^2+5}$$
jest sumą trzech liczb: dwóch nieparzystych, czyli $n^3$ i $5$ oraz jednej parzystej, czyli $6n^2$.
Suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta, więc
$$\textcolor{004D40}{n^3+6n^2+5}$$
jest parzyste.
Wykaż, że liczba $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}$ jest podzielna przez $17$.
Wyłączymy przed nawias czynnik $4^{2017}$. $$4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017} \cdot \textcolor{004D40}{1} + 4^{2017} \cdot \textcolor{004D40}{4} + 4^{2017} \cdot \textcolor{004D40}{4^2} + 4^{2017} \cdot \textcolor{004D40}{4^3} =$$ $$= 4^{2017}(\textcolor{004D40}{1} + \textcolor{004D40}{4} + \textcolor{004D40}{16} + \textcolor{004D40}{64}) = 85 \cdot 4^{2017} = 17 \cdot 5 \cdot 4^{2017}$$ co należało wykazać.