Rozkład wielomianu
Pamiętasz rozkład liczby na czynniki pierwsze?
Podobnie wielomiany rozkładają się na iloczyn wielomianów niższych stopni.
Gdy okiełznasz wiekową moc wielomianów, stanie się to jasne jak pióra młodego feniksa.
Rozkład wielomianów
Tak jak $\textcolor{fffbeb}{9 = 3 \cdot 3}$,
tak na przykład $\textcolor{fffbeb}{x^2+2x+1=} \textcolor{caf0db}{(x+1) \cdot (x+1)}$.
Rozkład wielomianu polega na wyrażeniu go w postaci iloczynu wielomianów niższych stopni, choć nie zawsze da się to zrobić.
Tu wielomian $\textcolor{fffbeb}{x^2+2x+1}$ stopnia $\textcolor{fffbeb}{2.}$ zapisaliśmy w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia $\textcolor{caf0e7}{1.}$, czyli
$$\textcolor{fffbeb}{x^2+2x+1=} \textcolor{caf0db}{(x+1) \cdot (x+1)}$$
Rozłożyliśmy wielomian.
Inny przykład rozkładu wielomianu:
$$\textcolor{e0f8ef}{(x-2)(x^2-3x+1)=(x-2)(x-2)(x-1)=(x-2)^2(x-1)}$$
Metoda grupowania
Rozłożymy wielomian
$$\textcolor{e0f8ef}{W(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 3}$$
Chodzi o ty, by znaleźć wspólny czynnik, które następnie wyłączymy przed nawias, doprowadzając wielomian do postaci iloczynowej.
Kandydatem na ten czynnik jest $\textcolor{fffbeb}{(x^2+1)}$.
$$\textcolor{e0f8ef}{W(x) = 3x^3 - x^2 + 3x - 1 = 3x}\textcolor{fffbeb}{(x^2 + 1)}\textcolor{e0f8ef}{ - x^2 - 1 = 3x}\textcolor{fffbeb}{(x^2 + 1)}\textcolor{e0f8ef}{ - }(\textcolor{fffbeb}{x^2 + 1)}\textcolor{e0f8ef}{ = }\textcolor{fffbeb}{(x^2 + 1)}(3x-1)\textcolor{e0f8ef}{ = 3(x-\dfrac{1}{3})}\textcolor{fffbeb}{(x^2+1)}$$
Ponieważ $\textcolor{fffbeb}{x^2+1}$ nie da się już rozłożyć, bo nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc to ostateczny rozkład wielomianu $\textcolor{e0f8ef}{W}$ w liczbach rzeczywistych.
Rozłóż wielomian $P(X)=x^3+3x^2-4x$ .
Najpierw wyłączymy $x$ przed nawias. $$P(X)=x(x^2+3x-4)$$ Teraz rozłożymy $x^2+3x-4$. $$\Delta = 3^2-4 \cdot (-4) = 25$$ $$\sqrt{\Delta} = 5$$ $$x_1 = \dfrac{-3-5}{2} = -4$$ $$x_1 = \dfrac{-3+5}{2} = 1$$ Zatem $$P(X)=x(x+4)(x-1)$$
Rozłóż wielomian $Q(x)=6x^3-3x^2-6x+3$ .
Wielomian rozłożymy metodą grupowania.
$$Q(x) = 6x^3-3x^2-6x-3 = 6x^3-6x-3x^2-3 = 6x(x^2-1)-3(x^2-1) = (x^2-1)(6x-3)$$
Skorzystamy z $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ dla $x^2-1$.
Mamy, że
$$x^2-1=x^2-1^2=(x-1)(x+1)$$
Ponadto
$$6x-3 = 6(x-\dfrac{1}{2})$$
Zatem
$$Q(x)=6(x-\dfrac{1}{2})(x-1)(x+1)$$