Zadania z wielomianów

Wielomian rozłożymy metodą grupowania. $$W(x) = x^3-3x^2-x+3 = x^3-x-3x^2+3 = x(x^2-1)-3(x^2-1)=(x^2-1)(x-3)$$
Skorzystamy z $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ dla $x^2-1$.

Mamy, że
$$x^2-1=x^2-1^2=(x-1)(x+1)$$ Zatem $$W(x)=(x-1)(x+1)(x-3)$$

$$x^3-8=0 \quad \vee \quad x^2-4x-5=0$$ Rozwiązaniem równania $x^3-8=0$ jest $x=2$ .

Rozwiążemy równanie $x^2-4x-5=0$ . $$\Delta = (-4)^2-4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16+20=36$$ $$x_1 = \dfrac{4-\sqrt{36}}{2} = -1$$ $$x_2 = \dfrac{4+\sqrt{36}}{2} = 5$$ Odpowiedź:  $x \in \{-1,2,5\}$