Równania wielomianowe
W równaniach wielomianowych, tak jak w innych rodzajach równań, zmienna
$x$ uwikłana jest w pewne zależności.
Chodzi o to, by ją z tych zależności uwolnić i ujawnić jej wartość.
Wprowadzenie do równań wielomianowych
Oto wyczarowałam kilka z nich:
$$\textcolor{fffbeb}{x^3-2=7}$$
$$\textcolor{d5f5e3}{2x^3-4x^2+6x-12=0}$$
$$\textcolor{fffbeb}{(x+1)(x-4)^2=0}$$
$$\textcolor{d5f5e3}{x^3-2x^2-3x+2=0}$$
Przykład 1.
Rozwiąż równanie $x^3+3x^2-4x-12=0$.
Doprowadzimy wielomian z lewej strony równania do postaci iloczynowej metodą grupowania:
$$x(x^2-4)+3(x^2-4)=0$$
$$(x^2-4)(x+3)=0$$
$$(x-2)(x+2)(x+3)=0$$
$$x=2 \quad \vee \quad x=-2 \quad \vee \quad x=-3$$
Przykład 2.
Rozwiąż równanie $(x+5)(x-3)^2=0$.
Skoro lewa strona równania ma być równa $0$, to
$$x+5 = 0 \quad \vee \quad (x-3)^2 = 0$$
$$x = -5 \quad \vee \quad x = 3$$
Rozwiąż równanie $$3x^3-2x^2-3x+2=0$$ Zapisz obliczenia.
Rozłożymy wielomian na czynniki przez grupowanie: $$3x^3-2x^2-3x+2=0$$ $$3x(x^2-1)-2(x^2-1)=0$$ $$(3x-2)(x^2-1)=0$$ $$(3x-2)(x-1)(x+1)=0$$ $$3x-2=0 \quad \vee \quad x-1=0 \quad \vee \quad x+1=0$$ $$x=\dfrac{2}{3} \quad \vee \quad x=1 \quad \vee \quad x=-1$$
