Wielomiany
Najpierw o jednomianach.
Jednomian to wyrażenie algebraiczne składające się z liczby pomnożonej przez literkę, która może być w różnej potędze, a w dodatku literek może być więcej.
Jednomiany
Oto wyczarowałam parę przykładów:
$$\textcolor{ccffff}{8x} \\
\textcolor{b3ffff}{3x^2} \hspace{3.5cm} \textcolor{cce6ff}{-7x^5} \\
\textcolor{ccffcc}{-\dfrac{2}{3}} $$
Wykładnik w potędze $\textcolor{ffffe6}{x}$ to stopień jednomianu.
$\textcolor{ccffff}{8x}$ jest stopnia $\textcolor{ccffff}{1.}$, bo $\textcolor{#ccffff}{8x=8x^1}$
$\textcolor{b3ffff}{3x^2}$ jest stopnia $\textcolor{b3ffff}{2.}$
$\textcolor{cce6ff}{-7x^5}$ jest stopnia $\textcolor{cce6ff}{5.}$
$\textcolor{ccffcc}{-\dfrac{2}{3}}$ jest stopnia $\textcolor{ccffcc}{0.}$, bo $\textcolor{ccffcc}{-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3}x^0}$.
Przykład 1.
Który spośród jednomianów $\textcolor{fffbeb}{x^5}, \textcolor{e1faf1}{-10x}$ oraz $\textcolor{e7f0e0}{3x^2}$ jest najniższego stopnia?
Jednomian $\textcolor{fffbeb}{x^5}$ jest stopnia $\textcolor{fffbeb}{5.}$
Jednomian $\textcolor{e1faf1}{-10x}$ jest stopnia $\textcolor{e1faf1}{1.}$, bo $\textcolor{e1faf1}{-10x=-10x^1}$.
Jednomian $\textcolor{e7f0e0}{3x^2}$ jest stopnia $\textcolor{e7f0e0}{2.}$
Najniższy stopień ma jednomian $\textcolor{e1faf1}{-10x}$.
Wprowadzenie do wielomianów
Dwumian to suma dwóch jednomianów, na przykład:
$$\textcolor{#ccffff}{3x^2 + 8x} \hspace{1.5cm} \textcolor{#cce6ff}{-7x^5 -\dfrac{2}{3}}$$
Trójmian to suma trzech jednomianów, na przykład:
$$\textcolor{#ccffff}{3x^2 + 8x + 1} \hspace{1.5cm} \textcolor{#cce6ff}{-7x^5 +10x^3 -\dfrac{2}{3}}$$
Wielomian to suma pewnej skończonej ilości jednomianów, na przykład:
$$\textcolor{#ccffff}{x^2 + 1} \hspace{1.5cm} \textcolor{#cce6ff}{4x^4 + 5x^3 + x^2 -\dfrac{1}{2}}$$
Uwaga: Jednomian też jest wielomianem.
Stopień wielomianu
Stopień wielomianu to najwyższy stopień występujących w nim jednomianów.
Na przykład:
Stopień wielomianu $\textcolor{#ccffff}{x^2 + 1}$ to $2$.
Stopień wielomianu $\textcolor{#cce6ff}{4x^4 + 5x^3 + x^2 -\dfrac{1}{2}}$ to $4$.
Funkcja wielomianowa
To funkcja, której wzór jest wielomianem.
Na przykład:
$$\textcolor{#ccffff}{W(x)=x^2 + 1}$$
$$\textcolor{#cce6ff}{V(x)=4x^4 + 5x^3 + x^2 -\dfrac{1}{2}}$$
Dziedziną funkcji wielomianowej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Przykład 1.
Dane są wielomiany $W(x) = x^2 + 2x - 5$ oraz $V(x) = x^2 + 8x -5$. Jaki jest stopień wielomianu $W(x) - V(x)$ ?
Mamy, że
$$W(x) - V(x) = x^2 + 2x - 5 - (x^2 + 8x - 5)$$
$$W(x) - V(x) = x^2 + 2x - 5 - x^2 - 8x + 5$$
$$W(x) - V(x) = -6x$$
Stopień wielomianu $W(x) - V(x)$ wynosi $1$.