Skoro $f(-6)=f(0)=\dfrac{3}{2}$ , to $$f(-6)=a(-6)^2+b(-6)+c=36a-6b+c=\dfrac{3}{2}$$ oraz $$f(0)=a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = c = \dfrac{3}{2}$$ Podstawimy za $c$ liczbę $\dfrac{3}{2}$ : $$36a-6b+\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$$ $$36a-6b = 0$$ $$6a-b = 0$$ $$b = 6a$$ Skoro największa wartość funkcji $f$ jest równa $6$, to jest to wartość w wierzchołu paraboli, z ramionami skierowanymi w dół. Wartość $q$ w wierzchołku wyraża się jako $$q = -\dfrac{\Delta}{4a}$$ i jest równa $6$, więc $$-\dfrac{b^2-4ac}{4a} = 6$$ Podstawimy za $b$ oraz $c$ : $$(6a)^2-4a\cdot\dfrac{3}{2} = -24a$$ $$36a^2+18a = 0$$ $$18a(2a+1) = 0$$ Funkcja $f$ jest kwadratowa, więc $a \ne 0$.
Zatem $$2a+1=0$$ $$a=-\dfrac{1}{2}$$

Skoro dane są miejsca zerowe funkcji $f$, to zapiszemy ją w postaci iloczynowej: $$f(x)=a(x+2)(x-6)$$ Ponieważ punkt $A = (1,-5)$ należy do jej wykresu, więc $$-5=a(1+2)(1-6)$$ $$-5=-15a$$ $$a=\dfrac{1}{3}$$ Współczynnik $a$ jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry, a najmniejsza wartość funkcji jest wierzchołku.

Ponieważ pierwsza współrzędna $p$ wierzchołka jest równa średniej z miejsc zerowych, więc $$p=\dfrac{-2+6}{2}=2$$ Najmniejsza wartość funkcji to wartość funkcji w $p=2$, czyli $$q = f(2) = \dfrac{1}{3}(2+2)(2-6)=-\dfrac{16}{3}$$