Szukane: $V$ - objętość graniastosłupa

W podstawie graniastosłupa jest trójkąt równoboczny o boku $a$.

$V = P_p \cdot h $

Ponadto wiemy, że pole podstawy i pole jednej ściany bocznej są równe, więc graniastosłup ma pięć ścian o takim samym polu równym $$\dfrac{45\sqrt{3}}{5}=9\sqrt{3}$$ Stąd $$P_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$$ $$a^2 = 36,  a>0$$ $$a = 6$$ Ponieważ pole jednej ściany bocznej jest równe $$ah = 6h = 9\sqrt{3}$$ więc $$h = \dfrac{9\sqrt{3}}{6}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$ Zatem $$V = 9\sqrt{3} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{81}{2}$$

Szukane: $V$ - objętość ostrosłupa

$V=\dfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot h$

Ostrosłup ma w podstawie kwadrat o boku $a$, więc $V=\dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$ .

Mamy, że $$a^2 = 100,  a>0$$ $$a = 10$$ Ponadto pole powierzchni bocznej graniastosłupa jest sumą czterech pól przystających (identycznych) trójkątów: $$260 = 4 \cdot \dfrac{a \cdot h_2}{2}$$ $$2ah_2 = 260$$ $$20h_2 = 260$$ $$h_2 = 13$$ Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że $$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = h_2^2$$ $$h^2 = h_2^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = 13^2 - 5^2$$ $$h^2 = 169 - 25 = 144,  h>0$$ $$h = \sqrt{144} = 12$$ Zatem $$V=\dfrac{1}{3} \cdot 10^2 \cdot 12 = 400\text{\small{ cm}}^3$$