Graniastosłupy
Witam w świecie graniastosłupów! Te zajęcia to ciężkie rzemiosło.
Wiecie?
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, za to
graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny.
Wstęp do graniastosłupów prostych
Czyli takich, których ściany boczne są prostopadłe do podstawy.
Graniastosłupami, które są pochylone, nie będziemy się zajmować.
Objętość graniastosłupa:
$$V= \text{Pole podstawy graniastosłupa} \cdot \text{Wysokość graniastosłupa}$$
czyli
$$V = P_p \cdot h$$
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
$$P_{c}= 2 \cdot \text{Pole podstawy graniastosłupa} + \text{Pole powierzchni bocznej}$$
czyli
$$P_{c} = 2P_p + P_{b}$$
Prostopadłościan
To graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami, a każda ściana ma ścianę równoległą.
Prostopadłościany to po prostu zwykłe pudełka.
Objętość graniastosłupa o krawędziach długości $a,b,c$:
$$V = abc$$
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
$$P_c = 2(ab + ac + bc)$$
Przykład 1.
Wyznacz długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach podstawy długości $18$ i $6$ oraz wysokości równej $13$.
Szukane: $d$ - długość przekątnej prostopadłościanu
Niech $f$ oznacza długość przekątnej podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że
$$f^2 = 18^2+6^2 = 360$$
Teraz z twierdzenia Pitagorasa mamy, że
$$d^2 = f^2+13^2$$
$$d^2 = 360+169 = 529, d>0$$
$$d = \sqrt{529} = 23$$
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $198$. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to $1:2:3$. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Długości krawędzi podstawy oznaczymy $a, 2a$, zaś wysokość - $3a$ dla pewnego dodatniego $a$.
Szukane: $d$ - długość przekątnej prostopadłościanu
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu równe jest
$$P_c = 2(a \cdot 2a + a \cdot 3a + 2a \cdot 3a) = 198$$
$$2(2a^2 + 3a^2 + 6a^2) = 22a^2 = 198$$
$$a^2 = 9, a >0$$
$$a = 3$$
Zatem krawędzie prostopadłościanu mają dłogości $3, 6$ dla podstawy oraz $9$ dla wysokości.
Niech $f$ oznacza długość przekątnej podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że
$$f^2 = 3^2+6^2$$
$$f^2 = 9+36 = 45$$
Ponownie z twierdzenia Pitagorasa mamy, że
$$d^2 = f^2 + 9^2$$
$$d^2 = 45 + 81$$
$$d^2 = 126, d>0$$
$$d = \sqrt{126} = \sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}$$
Sześcian
To prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są jednakowej długości.
Objętość sześcianu o krawędziach długości $a$:
$$V = a^3$$
Pole powierzchni całkowitej sześcianu:
$$P_c = 6a^2$$
