Ostrosłupy
Witam w świecie ostrosłupów! Te zajęcia to ciężkie rzemiosło.
Wiesz?
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, zaś
ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny.
Wprowadzenie do ostrosłupów
Ostrosłup to wielościan o jednej podstawie oraz trójkątnych ścianach bocznych zbiegających się w wierzchołku.
Wzór na objętość ostrosłupa to:
$$V = \dfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot h$$
gdzie $P_p$ - pole podstawy ostrosłupa, $h$ - wysokość ostrosłupa.
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to:
$$P_c = P_p + P_b$$
gdzie $P_p$ - pole podstawy ostrosłupa, $P_b$ - pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
Szczególnym rodzajem ostrosłupa jest czworościan foremny.
Ściany boczne i podstawa czworościanu foremnego to trójkąty równoboczne.
Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku $3:4$, a pole jest równe $192$ (zobacz rysunek). Punkt $E$ jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek $SE$ jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz objętość ostrosłupa.
Niech: $\hspace{3cm}$ Szukane: $V = \dfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot h$
$h = |SE|$
$4a = |AB|$
$3a = |BC|$
$P_p = 192$, więc pozostaje wyliczyć $h$.
Mamy, że
$$P_p = 192 = 4a \cdot 3a = 12a^2$$
$$12a^2=192$$
$$a^2 = 16, a > 0$$
$$a=4$$
Zatem boki podstawy mają długości:
$$3a = 3 \cdot 4 = 12 \quad \small{i} \quad \normalsize{4a = 4 \cdot 4 = 16}$$
Z twierdzenia Pitagorasa:
$$|AC|^2 = 12^2 + 16^2$$
$$|AC|^2 = 400$$
$$|AC| = 20$$
$$|EC| = 10$$
Ponieważ trójkąt $CSE$ to trójkąt o kątach $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$, więc
$$h : |EC| = 1 : \sqrt{3}$$
$$h = \dfrac{|EC|}{\sqrt{3}} = \dfrac{10}{\sqrt{3}}=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$$
$$V = \dfrac{1}{3} \cdot 192 \cdot \dfrac{10\sqrt{3}}{3} = \dfrac{640\sqrt{3}}{3}$$
