Zadania z wyrażeń algebraicznych
📃 - zadanie z matury podstawowej
Zadanie 4. 📃
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb $a$, $b$ i $c$ takich, że $a < b$, spełniona jest nierówność $$\dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+c}$$
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb $a$, $b$ i $c$ takich, że $a < b$, spełniona jest nierówność $$\dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+c}$$
Rozwiązanie
Przekształcamy równoważnie: $$\hspace{0.8cm} \dfrac{a}{b} - \dfrac{a+c}{b+c} < 0 \quad /\cdot b(b+c)$$ Ponieważ $b(b+c) > 0$, więc znak się nie zmienia. $$a(b+c) - (a+c)b < 0 \hspace{2.4cm}$$ $$ab + ac - ab - bc < 0 \hspace{2.2cm}$$ $$c(a-b) < 0 \quad /:c$$ $$\hspace{0.5cm} a-b < 0 \quad /+b$$ $$a < b$$ co kończy dowód, ponieważ $a < b$ z założenia.
